Номер 3.49, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.49, страница 109.

3.49° Верны ли для любого неотрицательного числа a и любого натурального числа n ($n \geq 2$) равенства $\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a$?

Да, данные равенства верны для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n \ge 2$. Чтобы убедиться в этом, проанализируем каждое равенство из составного утверждения $ \sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a $ в отдельности.

Проверка равенства $(\sqrt[n]{a})^n = a$

Это равенство следует непосредственно из определения арифметического корня n-й степени. По определению, арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt[n]{a}$) — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$. Таким образом, по самому определению, возведение $\sqrt[n]{a}$ в степень $n$ дает в результате $a$. Условие $a \ge 0$ гарантирует, что корень $\sqrt[n]{a}$ является действительным неотрицательным числом.

Проверка равенства $\sqrt[n]{a^n} = a$

Это равенство также проверяется с помощью определения арифметического корня. Мы должны показать, что правая часть равенства, то есть $a$, удовлетворяет двум условиям: во-первых, она должна быть неотрицательной, и во-вторых, ее n-я степень должна быть равна подкоренному выражению $a^n$.
Первое условие, $a \ge 0$, прямо дано в условии задачи.
Второе условие, $a^n = a^n$, является тождеством и всегда истинно.
Поскольку оба условия выполнены, равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$ является верным для любого $a \ge 0$ и $n \ge 2$. Важно отметить, что условие неотрицательности $a$ здесь является ключевым, так как для отрицательного $a$ и четного $n$ равенство было бы неверным (например, $\sqrt[2]{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, что не равно $-5$).

Поскольку оба равенства верны для любого неотрицательного $a$ и натурального $n \ge 2$, то и все составное равенство верно.

Ответ: Да, данные равенства верны для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n \ge 2$.