Номер 3.42, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.42, страница 106.

3.42 Имеет ли смысл запись:

а) $\sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[3]{-5}$;

в) $\sqrt[4]{5}$;

г) $\sqrt[4]{-5}$;

д) $\sqrt[8]{0}$;

е) $\sqrt[8]{-0,1}$?

Для того чтобы определить, имеет ли смысл запись $\sqrt[n]{a}$ в области действительных чисел, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и подкоренное выражение $a$.

Правило гласит: если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число, то корень существует для любого действительного числа $a$. Если же показатель корня $n$ — четное натуральное число, то корень существует только для неотрицательных действительных чисел, то есть при $a \ge 0$.

а) В выражении $\sqrt[3]{5}$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Согласно правилу, корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, запись имеет смысл.

Ответ: да.

б) В выражении $\sqrt[3]{-5}$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения, в том числе и для отрицательных. Следовательно, запись имеет смысл.

Ответ: да.

в) В выражении $\sqrt[4]{5}$ показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений ($a \ge 0$). Подкоренное выражение $a=5$ является положительным ($5 > 0$), поэтому запись имеет смысл.

Ответ: да.

г) В выражении $\sqrt[4]{-5}$ показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение $a=-5$ является отрицательным ($-5 < 0$), следовательно, в области действительных чисел данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет.

д) В выражении $\sqrt[8]{0}$ показатель корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени определен для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение $a=0$ является неотрицательным ($0 \ge 0$), поэтому запись имеет смысл.

Ответ: да.

е) В выражении $\sqrt[8]{-0,1}$ показатель корня $n=8$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Подкоренное выражение $a=-0,1$ является отрицательным ($-0,1 < 0$), следовательно, в области действительных чисел данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет.