Номер 3.36, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.36, страница 105.

3.36° Для любого ли действительного числа существует корень чётной степени?

Нет, не для любого действительного числа существует корень чётной степени в множестве действительных чисел.

Рассмотрим определение корня чётной степени. Корень чётной степени $n$ (где $n=2k$, $k \in \mathbb{N}$) из действительного числа $a$ — это такое действительное число $x$, что выполняется равенство $x^n = a$.

Давайте проанализируем, какие значения может принимать левая часть этого равенства, $x^n$, где $x$ — любое действительное число, а $n$ — чётное число.

1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то и $x$ в любой чётной степени будет положительным числом. Например, $3^4 = 81 > 0$.

2. Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то при возведении в чётную степень результат также будет положительным. Например, $(-3)^4 = (-1)^4 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81 > 0$.

3. Если $x = 0$, то $x^n = 0^n = 0$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ и любого чётного показателя степени $n$, результат $x^n$ всегда будет неотрицательным числом, то есть $x^n \geq 0$.

Из этого следует, что равенство $x^n = a$ может быть верным только в том случае, если $a$ — неотрицательное число ($a \geq 0$).

Если же мы возьмём любое отрицательное действительное число, например $a = -16$, то для него не будет существовать корня чётной степени (например, четвёртой степени) в множестве действительных чисел. Уравнение $x^4 = -16$ не имеет действительных решений, так как любое действительное число, возведённое в четвёртую степень, даст неотрицательный результат.

Поскольку мы нашли контрпример (любое отрицательное число), мы можем сделать вывод, что утверждение "для любого действительного числа существует корень чётной степени" является ложным.

Ответ: Нет, корень чётной степени в множестве действительных чисел существует только для неотрицательных чисел ($a \geq 0$). Для любого отрицательного действительного числа корень чётной степени не существует.