Номер 3.43, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.43, страница 106.

3.43 Верно ли равенство:

а) $ \sqrt[3]{-27} = -3; $

б) $ -\sqrt[4]{16} = -2; $

в) $ \sqrt[3]{64} = -4; $

г) $ \sqrt[4]{625} = -5? $

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt[3]{-27} = -3$, необходимо возвести число в правой части $(-3)$ в степень корня (3) и сравнить результат с подкоренным выражением $(-27)$. По определению корня нечетной степени, $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$.

Выполним проверку: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.

Поскольку результат $(-27)$ совпадает с подкоренным выражением, равенство верно.

Ответ: верно.

б) Чтобы проверить верность равенства $-\sqrt[4]{16} = -2$, сначала вычислим значение арифметического корня $\sqrt[4]{16}$. Арифметический корень четной степени из числа — это всегда неотрицательное число. Нам нужно найти такое неотрицательное число $b$, что $b^4 = 16$.

Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Следовательно, $\sqrt[4]{16} = 2$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: $-\sqrt[4]{16} = -(2) = -2$.

Равенство $-2 = -2$ является верным.

Ответ: верно.

в) Проверим верность равенства $\sqrt[3]{64} = -4$. Возведем правую часть $(-4)$ в третью степень.

Выполним проверку: $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$.

Результат $(-64)$ не равен подкоренному выражению $(64)$. Правильное значение кубического корня из 64 равно 4, так как $4^3 = 64$. Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: неверно.

г) Проверим верность равенства $\sqrt[4]{625} = -5$. По определению, значение арифметического корня четной степени (в данном случае, 4-й) не может быть отрицательным числом. В правой части равенства стоит отрицательное число $-5$.

Это уже достаточное основание, чтобы утверждать, что равенство неверно. Правильное значение корня: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5 \ge 0$ и $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Ответ: неверно.