Номер 3.48, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.48, страница 109.

3.48° a) Что называют арифметическим корнем степени $n$ ($n \geq 2$) из числа $a$?

б) Для каких чисел $a \in \mathbf{R}$ введено понятие арифметического корня степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа $a$?

в) Сколько существует арифметических корней степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа?

а) Арифметическим корнем степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Если обозначить арифметический корень степени $n$ из числа $a$ как $x = \sqrt[n]{a}$, то по определению должны выполняться два условия: 1) $x \ge 0$ (корень является неотрицательным числом) и 2) $x^n = a$ (при возведении корня в степень $n$ получается подкоренное число $a$).

Например, арифметическим корнем 3-й степени из числа 8 является число 2, так как $2 \ge 0$ и $2^3 = 8$. То есть, $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: Арифметическим корнем степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

б) Понятие арифметического корня степени $n$ (где $n \ge 2$) введено для неотрицательных действительных чисел $a$. Это следует непосредственно из определения, данного в пункте а), где требуется, чтобы число $a$ было неотрицательным ($a \ge 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Степень корня $n$ — четное число. В этом случае подкоренное выражение $a$ не может быть отрицательным, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. Например, не существует такого действительного числа $x$, что $x^2 = -4$.

2. Степень корня $n$ — нечетное число. В этом случае корень нечетной степени из отрицательного числа существует, но он будет отрицательным (например, $\sqrt[3]{-27} = -3$). Однако по определению арифметический корень должен быть неотрицательным, поэтому для отрицательных $a$ он не определен.

Таким образом, для любого натурального $n \ge 2$ понятие арифметического корня введено только для чисел $a \ge 0$.

Ответ: Для чисел $a \in \mathbb{R}$ таких, что $a \ge 0$.

в) Из любого неотрицательного числа $a$ существует только один арифметический корень степени $n \ge 2$.

Это можно доказать, рассмотрев функцию $y = x^n$ при условии $x \ge 0$ и $n \ge 2$. Эта функция является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$. Это означает, что каждому значению $y \ge 0$ (в нашем случае $y=a$) соответствует ровно одно значение $x \ge 0$. Следовательно, уравнение $x^n = a$ при $a \ge 0$ имеет единственный неотрицательный корень.

Важно не путать с алгебраическими корнями. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два действительных корня: $x=3$ и $x=-3$. Однако, согласно определению, арифметическим корнем является только неотрицательное значение, то есть $\sqrt{9} = 3$. Таким образом, арифметический корень всегда один.

Ответ: Существует только один арифметический корень степени $n$ из данного числа (при условии, что число неотрицательное).