Номер 3.55, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.55, страница 110.

3.55 а) $\sqrt[3]{1000} - \sqrt[4]{160000}$;

б) $\sqrt[5]{3200000} + \sqrt[3]{8000}$;

в) $\sqrt[3]{0,008} + \sqrt[4]{0,0625}$;

г) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} - \sqrt[3]{\frac{1}{125}}$.

а) Вычислим значение каждого корня. Первый корень: $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$. Для второго корня представим подкоренное выражение как произведение: $160000 = 16 \cdot 10000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$. Таким образом, $\sqrt[4]{160000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$. Теперь найдем разность: $10 - 20 = -10$.
Ответ: -10.

б) Вычислим значение каждого корня. Первый корень: $\sqrt[5]{3200000} = \sqrt[5]{32 \cdot 100000} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 10^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 10)^5} = 20$. Аналогично, второй корень: $\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 10)^3} = 20$. Теперь найдем сумму: $20 + 20 = 40$.
Ответ: 40.

в) Вычислим значение каждого корня, представив десятичные дроби в виде степеней. Первый корень: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$. Второй корень: $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{(0,5)^4} = 0,5$. Теперь найдем сумму: $0,2 + 0,5 = 0,7$.
Ответ: 0,7.

г) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81} - \sqrt[3]{\frac{1}{125}}}$ сначала найдем значение внутреннего корня: $\sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$. Подставим это значение обратно в выражение под корнем четвертой степени: $\sqrt[4]{\frac{1}{81} - \frac{1}{5}}$. Вычислим разность под знаком корня: $\frac{1}{81} - \frac{1}{5} = \frac{5}{405} - \frac{81}{405} = -\frac{76}{405}$. Получаем выражение $\sqrt[4]{-\frac{76}{405}}$. Корень четной степени (4) из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.
Ответ: Выражение не имеет действительных решений.