Номер 3.56, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.56, страница 110.

3.56 а) $ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}; $

б) $ \sqrt[3]{125 \cdot 27}; $

в) $ \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}; $

г) $ \sqrt[4]{81 \cdot 16}; $

д) $ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}; $

е) $ \sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}; $

ж) $ \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}; $

з) $ \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}; $

и) $ \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}. $

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$ можно вычислить каждый корень отдельно, так как подкоренные выражения 8 и 27 являются полными кубами.
Находим корень кубический из 8: $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.
Находим корень кубический из 27: $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
Теперь перемножаем полученные результаты: $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{125 \cdot 27}$ используем свойство корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Разделим корень из произведения на произведение корней: $\sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27}$.
Находим корень кубический из 125: $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.
Находим корень кубический из 27: $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
Перемножаем полученные результаты: $5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: 15

в) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}$.
Вычислим каждый корень отдельно.
Находим корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Находим корень четвертой степени из 625: $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Перемножаем полученные результаты: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{81 \cdot 16}$ используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16}$.
Находим корень четвертой степени из 81: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Находим корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Перемножаем полученные результаты: $3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6

д) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$.
Находим корень кубический из 8: $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.
Ответ: 2

е) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32}$.
Находим корень пятой степени из 32, зная, что $2^5 = 32$: $\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

ж) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 125}$.
Так как $125 = 5^3$, то произведение под корнем равно $5 \cdot 5^3 = 5^4 = 625$.
Получаем: $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

з) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9 \cdot 24}$.
Вычисляем произведение: $9 \cdot 24 = 216$.
Получаем: $\sqrt[3]{216}$.
Так как $6^3 = 216$, то $\sqrt[3]{216} = 6$.
Ответ: 6

и) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100}$ используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Объединяем множители под один знак корня: $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{100} = \sqrt[3]{10 \cdot 100} = \sqrt[3]{1000}$.
Находим корень кубический из 1000, зная, что $10^3=1000$: $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Ответ: 10