Номер 3.63, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Арифметический корень. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.63, страница 110.

3.63 Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{32}$;

б) $\sqrt[5]{800}$;

в) $30 \sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2} \sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5 \sqrt[3]{144}$;

г) $\sqrt[4]{80}$;

д) $\sqrt[4]{405}$;

е) $\sqrt[3]{320} + \sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{32} - 2 \sqrt[3]{40}$;

ж) $\sqrt[4]{81 \cdot (4 - \sqrt{17})^4}$;

з) $\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[6]{0,000064}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{32}$, разложим подкоренное число 32 на множители так, чтобы выделить куб какого-либо числа.
$32 = 8 \cdot 4 = 2^3 \cdot 4$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{4}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{4}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[5]{800}$. Разложим 800 на множители, выделяя множитель в пятой степени.
$800 = 100 \cdot 8 = 25 \cdot 4 \cdot 8 = 25 \cdot 32 = 25 \cdot 2^5$.
Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[5]{800} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 25} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{25} = 2\sqrt[5]{25}$.
Ответ: $2\sqrt[5]{25}$.

в)

Упростим выражение $30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144}$.
Преобразуем каждый член выражения, чтобы привести их к общему виду.
1. Первый член: $30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} = 30\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 18}{12 \cdot 18}} = 30\sqrt[3]{\frac{18}{216}} = 30 \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{216}} = 30 \frac{\sqrt[3]{18}}{6} = 5\sqrt[3]{18}$.
2. Второй член: $\frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{18}{27}} = \frac{7}{2} \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{7}{2} \frac{\sqrt[3]{18}}{3} = \frac{7\sqrt[3]{18}}{6}$.
3. Третий член: $5\sqrt[3]{144}$. Разложим 144 на множители: $144 = 8 \cdot 18 = 2^3 \cdot 18$.
$5\sqrt[3]{144} = 5\sqrt[3]{2^3 \cdot 18} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{18} = 10\sqrt[3]{18}$.
Теперь сложим все упрощенные члены:
$5\sqrt[3]{18} + \frac{7}{6}\sqrt[3]{18} + 10\sqrt[3]{18} = (5 + \frac{7}{6} + 10)\sqrt[3]{18} = (15 + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = (\frac{90}{6} + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = \frac{97}{6}\sqrt[3]{18}$.
Ответ: $\frac{97}{6}\sqrt[3]{18}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{80}$, разложим 80 на множители, выделяя множитель в четвертой степени.
$80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

д)

Упростим $\sqrt[4]{405}$. Разложим 405 на множители:
$405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{5}$.

е)

Упростим выражение $\sqrt[3]{320} + \sqrt[3]{108} - \sqrt[3]{32} - 2\sqrt[3]{40}$.
Упростим каждый член, вынося множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$.
$\sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = 3\sqrt[3]{4}$.
$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = 2\sqrt[3]{4}$.
$2\sqrt[3]{40} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.
Подставим упрощенные члены в исходное выражение:
$4\sqrt[3]{5} + 3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4} - 4\sqrt[3]{5}$.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми корнями:
$(4\sqrt[3]{5} - 4\sqrt[3]{5}) + (3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{4}) = 0 + (3-2)\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

ж)

Упростим выражение $\sqrt[4]{81 \cdot (4-\sqrt{17})^4}$.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4}$.
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Для второго множителя используем свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:
$\sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4} = |4-\sqrt{17}|$.
Определим знак выражения в модуле. Сравним $4$ и $\sqrt{17}$.
$4^2=16$, $(\sqrt{17})^2=17$. Так как $16 < 17$, то $4 < \sqrt{17}$.
Следовательно, $4 - \sqrt{17} < 0$.
$|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4$.
Перемножим результаты:
$3 \cdot (\sqrt{17}-4) = 3\sqrt{17} - 12$.
Ответ: $3\sqrt{17} - 12$.

з)

Упростим выражение $\sqrt[3]{0,001} - \sqrt[6]{0,000064}$.
Упростим каждый член по отдельности.
Первый член: $\sqrt[3]{0,001} = \sqrt[3]{(0,1)^3} = 0,1$.
Второй член: $\sqrt[6]{0,000064}$. Заметим, что $64 = 2^6$ и $0,000064 = 64 \cdot 10^{-6} = 2^6 \cdot (10^{-1})^6 = (0,2)^6$.
$\sqrt[6]{0,000064} = \sqrt[6]{(0,2)^6} = 0,2$.
Теперь выполним вычитание:
$0,1 - 0,2 = -0,1$.
Ответ: $-0,1$.