Номер 3.66, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.66, страница 113.

3.66° a) Какие свойства корней степени $n$ вам известны?

б) Чему равен $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}$, если $a$ — любое действительное число?

в) Чему равен $\sqrt[2m]{a^{2m}}$, если $a$ — любое действительное число?

г) Справедливо ли равенство $\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$, если $n$ — натуральное число ($n\ge2$), $p$ — целое число, $a$ — положительное число?

а) Для корней n-й степени, где $n$ – натуральное число ($n \ge 2$), известны следующие основные свойства. Пусть $a \ge 0$ и $b \ge 0$, а $k$ и $m$ – натуральные числа.
1. Корень из произведения: корень из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей.
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
2. Корень из частного: корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b > 0$)
3. Возведение корня в степень: чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
$(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$
4. Извлечение корня из корня: чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.
$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[kn]{a}$
5. Основное свойство корня: значение корня не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$
6. Свойство корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство.
$\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$
7. Тождество $\sqrt[n]{a^n}$:
$\sqrt[n]{a^n} = a$, если $n$ — нечетное число.
$\sqrt[n]{a^n} = |a|$, если $n$ — четное число.
Ответ: Перечислены основные свойства корней: корень из произведения, корень из частного, возведение корня в степень, извлечение корня из корня, основное свойство корня и тождество $\sqrt[n]{a^n}$.

б) Требуется найти значение выражения $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}$ для любого действительного числа $a$.
Показатель корня $n = 2m+1$ является нечетным числом для любого целого $m$. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.
По определению, корень нечетной степени $n$ из числа $x$ есть такое число $y$, что $y^n = x$. В нашем случае мы ищем $y$ такое, что $y^{2m+1} = a^{2m+1}$. Очевидно, что $y=a$ удовлетворяет этому уравнению. Так как функция $y=x^{2m+1}$ является строго монотонной на всей числовой оси, это решение единственное.
Таким образом, для любого действительного числа $a$ выполняется тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$, если $n$ — нечетное.
Ответ: $a$

в) Требуется найти значение выражения $\sqrt[2m]{a^{2m}}$ для любого действительного числа $a$.
Показатель корня $n = 2m$ является четным числом (для любого натурального $m$). Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений, и его значение всегда неотрицательно.
Подкоренное выражение $a^{2m} = (a^m)^2$ всегда неотрицательно при любом действительном $a$, так что корень определен.
По определению, $\sqrt[n]{x}$ (где $n$ — четное) есть такое неотрицательное число $y$, что $y^n=x$. Мы ищем неотрицательное число $y$, такое что $y^{2m} = a^{2m}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $a$ — неотрицательное число. $a^{2m} = a^{2m}$. Значит, $\sqrt[2m]{a^{2m}} = a$. В этом случае $a = |a|$.
2. Если $a < 0$, то $-a > 0$. $(-a)^{2m} = (-1)^{2m} \cdot a^{2m} = 1 \cdot a^{2m} = a^{2m}$. Так как $-a$ — неотрицательное число и его $2m$-ая степень равна $a^{2m}$, то $\sqrt[2m]{a^{2m}} = -a$. В этом случае $-a = |a|$.
Объединяя оба случая, получаем, что $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$.
Ответ: $|a|$

г) Нужно проверить справедливость равенства $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$ при условиях: $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $p$ — целое число, $a$ — положительное число ($a > 0$).
Да, это равенство справедливо. Его можно доказать, используя определение степени с рациональным показателем, которое применимо, так как основание степени $a$ положительно.
По определению, $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.
Преобразуем левую часть равенства:
$L = \sqrt[n]{a^p} = (a^p)^{1/n}$
По свойству степеней $(x^y)^z = x^{yz}$, получаем:
$L = a^{p \cdot \frac{1}{n}} = a^{p/n}$
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$R = (\sqrt[n]{a})^p = (a^{1/n})^p$
По тому же свойству степеней, получаем:
$R = a^{\frac{1}{n} \cdot p} = a^{p/n}$
Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $a^{p/n}$, то равенство $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$ справедливо при заданных условиях.
Ответ: Да, справедливо.