Номер 3.72, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.72, страница 113.

3.72 Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4};$

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18};$

в) $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b};$

г) $\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4};$

д) $\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c};$

е) $\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2};$

ж) $\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c};$

з) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x};$

и) $\sqrt[3]{a^5} \cdot \sqrt[3]{a^4}.$

а) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. В результате получаем: $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.
Ответ: $2$

б) Применим свойство произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{3 \cdot 18} = \sqrt[3]{54}$. Разложим подкоренное выражение $54$ на множители, чтобы выделить полный куб: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$. Теперь можно вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

в) Сначала перемножим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$: $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b} = 5 \cdot \sqrt[3]{2a \cdot 4b} = 5\sqrt[3]{8ab}$. Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем: $5\sqrt[3]{8ab} = 5 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{ab} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{ab} = 10\sqrt[3]{ab}$.
Ответ: $10\sqrt[3]{ab}$

г) Сгруппируем числовой коэффициент и перемножим корни: $\sqrt[5]{a^2} \cdot 2\sqrt[5]{a^4} = 2 \cdot (\sqrt[5]{a^2} \cdot \sqrt[5]{a^4}) = 2\sqrt[5]{a^2 \cdot a^4}$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим подкоренное выражение: $2\sqrt[5]{a^{2+4}} = 2\sqrt[5]{a^6}$. Вынесем множитель из-под знака корня, представив $a^6$ как $a^5 \cdot a$: $2\sqrt[5]{a^5 \cdot a} = 2 \cdot \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{a} = 2a\sqrt[5]{a}$.
Ответ: $2a\sqrt[5]{a}$

д) Используем свойство произведения корней: $\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c} = \sqrt[3]{2c^2 \cdot 4c} = \sqrt[3]{8c^3}$. Извлечем кубический корень из каждого множителя под корнем: $\sqrt[3]{8c^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot c^3} = \sqrt[3]{(2c)^3} = 2c$.
Ответ: $2c$

е) Перемножим подкоренные выражения: $\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2} = \sqrt[3]{9x \cdot 9x^2} = \sqrt[3]{81x^3}$. Разложим число $81$ на множители, чтобы выделить полный куб: $81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$. $\sqrt[3]{81x^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3x\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $3x\sqrt[3]{3}$

ж) Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$: $\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c} = \sqrt[11]{abc}$.
Ответ: $\sqrt[11]{abc}$

з) Используем свойство произведения корней и свойство степеней: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a \cdot a^2 \cdot x} = \sqrt[3]{a^{1+2} \cdot x} = \sqrt[3]{a^3x}$. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{a^3x} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{x} = a\sqrt[3]{x}$.
Ответ: $a\sqrt[3]{x}$

и) Перемножим корни и сложим показатели степеней под корнем: $\sqrt[3]{a^5} \cdot \sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^5 \cdot a^4} = \sqrt[3]{a^{5+4}} = \sqrt[3]{a^9}$. Для извлечения корня можно использовать свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$: $\sqrt[3]{a^9} = a^{9/3} = a^3$.
Ответ: $a^3$