Номер 3.71, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.71, страница 113.

3.71 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt[3]{80}$;

б) $\sqrt[3]{81}$;

в) $\sqrt[3]{250}$;

г) $\sqrt[3]{-648}$;

д) $\sqrt[5]{a^7b}$;

е) $\sqrt[4]{16c^5d^6}$, если $c>0, d>0$;

ж) $\sqrt[4]{5x^4}$, если $x<0$;

з) $\sqrt[5]{3x^5y}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня $\sqrt[3]{80}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них являлся кубом целого числа.
Разложим число 80: $80 = 8 \times 10 = 2^3 \times 10$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{2^3 \times 10} = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{10} = 2\sqrt[3]{10}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{10}$.

б) Для выражения $\sqrt[3]{81}$ разложим число 81 на множители. Наибольший множитель, являющийся кубом целого числа, это 27.
$81 = 27 \times 3 = 3^3 \times 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^3 \times 3} = \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{3}$.

в) Для выражения $\sqrt[3]{250}$ разложим число 250 на множители. Наибольший множитель, являющийся кубом целого числа, это 125.
$250 = 125 \times 2 = 5^3 \times 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \times 2} = \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

г) Для выражения $\sqrt[3]{-648}$ воспользуемся свойством корня нечетной степени: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для нечетного $n$.
$\sqrt[3]{-648} = -\sqrt[3]{648}$.
Разложим число 648 на множители. Наибольший куб, на который делится 648, это 216 ($6^3 = 216$).
$648 = 216 \times 3 = 6^3 \times 3$.
Следовательно:
$-\sqrt[3]{648} = -\sqrt[3]{6^3 \times 3} = -(\sqrt[3]{6^3} \times \sqrt[3]{3}) = -6\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $-6\sqrt[3]{3}$.

д) Для выражения $\sqrt[5]{a^7b}$ представим степень $a^7$ в виде произведения $a^5 \cdot a^2$, чтобы выделить множитель в пятой степени.
$\sqrt[5]{a^7b} = \sqrt[5]{a^5 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt[5]{a^5} \times \sqrt[5]{a^2b}$.
Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[5]{a^5} = a$.
Получаем: $a\sqrt[5]{a^2b}$.
Ответ: $a\sqrt[5]{a^2b}$.

е) Для выражения $\sqrt[4]{16c^5d^6}$ при условии $c > 0, d > 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся четвертыми степенями:
$16 = 2^4$
$c^5 = c^4 \cdot c$
$d^6 = d^4 \cdot d^2$
Подставим разложения в корень:
$\sqrt[4]{16c^5d^6} = \sqrt[4]{2^4 \cdot c^4 \cdot c \cdot d^4 \cdot d^2} = \sqrt[4]{(2^4c^4d^4) \cdot (cd^2)}$.
Выносим множители:
$\sqrt[4]{(2cd)^4} \times \sqrt[4]{cd^2}$.
Для корня четной степени $\sqrt[n]{x^n} = |x|$, поэтому $\sqrt[4]{(2cd)^4} = |2cd|$.
По условию $c > 0$ и $d > 0$, значит $2cd > 0$, и $|2cd| = 2cd$.
Ответ: $2cd\sqrt[4]{cd^2}$.

ж) Для выражения $\sqrt[4]{5x^4}$ при условии $x < 0$.
Выносим множитель из-под корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{5x^4} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{x^4}$.
Так как степень корня четная, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
По условию задачи $x < 0$, следовательно, $|x| = -x$.
Таким образом, получаем:
$|x|\sqrt[4]{5} = -x\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $-x\sqrt[4]{5}$.

з) Для выражения $\sqrt[5]{3x^5y}$.
Степень корня нечетная (5), поэтому при извлечении корня из степени с тем же показателем знак сохраняется: $\sqrt[5]{x^5} = x$.
Выносим множитель $x^5$ из-под знака корня:
$\sqrt[5]{3x^5y} = \sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{3y} = x\sqrt[5]{3y}$.
Ответ: $x\sqrt[5]{3y}$.