Номер 3.73, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.73, страница 113.

3.73 Внесите множитель под знак корня:

а) $3 \sqrt[3]{\frac{1}{9}};$

б) $2 \sqrt[4]{\frac{1}{8}};$

в) $5 \sqrt[3]{\frac{1}{a}};$

г) $7 \sqrt[5]{\frac{1}{b}};$

д) $b \sqrt[3]{\frac{a}{b}};$

е) $c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}};$

ж) $\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2x}{a^2y}};$

з) $\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2x}{a^7}}$, где $b > 0$.

а) Чтобы внести множитель $3$ под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$. Затем умножить подкоренное выражение на полученное число.$3 \sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{27 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{27}{9}} = \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}$

б) Чтобы внести множитель $2$ под знак корня четвертой степени, необходимо возвести его в четвертую степень: $2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}$.$2 \sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[4]{16 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{16}{8}} = \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2}$

в) Внесем множитель $5$ под знак кубического корня, возведя его в куб: $5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}$.$5 \sqrt[3]{\frac{1}{a}} = \sqrt[3]{125 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt[3]{\frac{125}{a}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{125}{a}}$

г) Внесем множитель $7$ под знак корня пятой степени, возведя его в пятую степень: $7 = \sqrt[5]{7^5} = \sqrt[5]{16807}$.$7 \sqrt[5]{\frac{1}{b}} = \sqrt[5]{16807 \cdot \frac{1}{b}} = \sqrt[5]{\frac{16807}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[5]{\frac{16807}{b}}$

д) Внесем множитель $b$ под знак кубического корня, возведя его в третью степень: $b = \sqrt[3]{b^3}$.$b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \sqrt[3]{b^3 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt[3]{\frac{ab^3}{b}} = \sqrt[3]{ab^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{ab^2}$

е) Внесем множитель $c$ под знак кубического корня, возведя его в третью степень: $c = \sqrt[3]{c^3}$.$c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^3 \cdot \frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{\frac{c^3x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^2x^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{c^2x^2}$

ж) Внесем множитель $\frac{ay}{b}$ под знак кубического корня, возведя его в куб: $(\frac{ay}{b})^3 = \frac{a^3y^3}{b^3}$.$\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2x}{a^2y}} = \sqrt[3]{\left(\frac{ay}{b}\right)^3 \cdot \frac{b^2x}{a^2y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3y^3}{b^3} \cdot \frac{b^2x}{a^2y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3y^3b^2x}{b^3a^2y}}$.Сократим дроби под корнем: $\sqrt[3]{\frac{a^{3-2}y^{3-1}x}{b^{3-2}}} = \sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$

з) Внесем множитель $\frac{a^2}{b}$ под знак корня четвертой степени. Так как по условию $b > 0$, а $a^2 \ge 0$, то множитель $\frac{a^2}{b}$ неотрицателен, и его можно внести под корень четной степени, возведя в соответствующую степень.Возведем множитель в четвертую степень: $\left(\frac{a^2}{b}\right)^4 = \frac{(a^2)^4}{b^4} = \frac{a^8}{b^4}$.$\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2x}{a^7}} = \sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{b}\right)^4 \cdot \frac{b^2x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8}{b^4} \cdot \frac{b^2x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8b^2x}{b^4a^7}}$.Сократим дроби под корнем: $\sqrt[4]{\frac{a^{8-7}x}{b^{4-2}}} = \sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$