Номер 3.68, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.68, страница 113.

3.68 а) $\sqrt[4]{9^2}$;

б) $\sqrt[4]{25^2}$;

в) $\sqrt[6]{8^2}$;

г) $\sqrt[6]{16^3}$;

д) $\sqrt[6]{27^2}$;

е) $\sqrt[6]{81^3}$;

ж) $\sqrt[200]{49^{100}}$;

з) $\sqrt[300]{125^{100}}$.

а) $\sqrt[4]{9^2}$
Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойством корня, которое позволяет представить его в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{9^2} = 9^{\frac{2}{4}}$
Теперь сократим дробь в показателе степени:
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, выражение сводится к:
$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
Другой способ решения — это упрощение показателя корня и показателя степени подкоренного выражения, разделив их на общий делитель. В данном случае, показатели 4 и 2 можно разделить на 2:
$\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4/2]{9^{2/2}} = \sqrt[2]{9^1} = \sqrt{9} = 3$
Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{25^2}$
Представим выражение в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{25^2} = 25^{\frac{2}{4}}$
Сократим показатель степени:
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
В результате получаем:
$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
Альтернативно, можно сократить показатель корня (4) и показатель степени (2) на их общий делитель 2:
$\sqrt[4]{25^2} = \sqrt[4/2]{25^{2/2}} = \sqrt[2]{25^1} = \sqrt{25} = 5$
Ответ: 5

в) $\sqrt[6]{8^2}$
Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы представить корень в виде степени:
$\sqrt[6]{8^2} = 8^{\frac{2}{6}}$
Сокращаем дробный показатель:
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Получаем $8^{\frac{1}{3}}$, что является кубическим корнем из 8:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Также можно было сначала разложить число 8 на простые множители ($8 = 2^3$):
$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^6} = 2$
Ответ: 2

г) $\sqrt[6]{16^3}$
Перейдем от корня к степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{16^3} = 16^{\frac{3}{6}}$
Сократим показатель степени:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Выражение принимает вид $16^{\frac{1}{2}}$, что равно квадратному корню из 16:
$\sqrt{16} = 4$
Можно также упростить показатель корня (6) и показатель степени (3), разделив их на их общий делитель 3:
$\sqrt[6]{16^3} = \sqrt[6/3]{16^{3/3}} = \sqrt[2]{16^1} = \sqrt{16} = 4$
Ответ: 4

д) $\sqrt[6]{27^2}$
Представим корень в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{27^2} = 27^{\frac{2}{6}}$
Сократим дробь в показателе:
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Получаем $27^{\frac{1}{3}}$, что равносильно $\sqrt[3]{27}$:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Другой способ — разложить основание 27 на простые множители ($27 = 3^3$):
$\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^6} = 3$
Ответ: 3

е) $\sqrt[6]{81^3}$
Перейдем к степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{81^3} = 81^{\frac{3}{6}}$
Сократим показатель:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Выражение равно $81^{\frac{1}{2}}$, что является квадратным корнем из 81:
$\sqrt{81} = 9$
Альтернативно, можно было сократить показатель корня и степени на их общий делитель 3:
$\sqrt[6]{81^3} = \sqrt[6/3]{81^{3/3}} = \sqrt[2]{81^1} = \sqrt{81} = 9$
Ответ: 9

ж) $\sqrt[200]{49^{100}}$
Воспользуемся представлением корня в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[200]{49^{100}} = 49^{\frac{100}{200}}$
Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$
Получаем $49^{\frac{1}{2}}$, что является квадратным корнем из 49:
$\sqrt{49} = 7$
Также можно было сократить показатель корня (200) и показатель степени (100) на их наибольший общий делитель, равный 100:
$\sqrt[200]{49^{100}} = \sqrt[200/100]{49^{100/100}} = \sqrt[2]{49^1} = \sqrt{49} = 7$
Ответ: 7

з) $\sqrt[300]{125^{100}}$
Представим выражение в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[300]{125^{100}} = 125^{\frac{100}{300}}$
Сократим показатель степени:
$\frac{100}{300} = \frac{1}{3}$
Выражение равно $125^{\frac{1}{3}}$, что является кубическим корнем из 125:
$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3=125$.
Можно было также разложить 125 на простые множители ($125 = 5^3$):
$\sqrt[300]{125^{100}} = \sqrt[300]{(5^3)^{100}} = \sqrt[300]{5^{3 \cdot 100}} = \sqrt[300]{5^{300}} = 5$
Ответ: 5