Страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.66° a) Какие свойства корней степени $n$ вам известны?

б) Чему равен $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}$, если $a$ — любое действительное число?

в) Чему равен $\sqrt[2m]{a^{2m}}$, если $a$ — любое действительное число?

г) Справедливо ли равенство $\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$, если $n$ — натуральное число ($n\ge2$), $p$ — целое число, $a$ — положительное число?

а) Для корней n-й степени, где $n$ – натуральное число ($n \ge 2$), известны следующие основные свойства. Пусть $a \ge 0$ и $b \ge 0$, а $k$ и $m$ – натуральные числа.
1. Корень из произведения: корень из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей.
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
2. Корень из частного: корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b > 0$)
3. Возведение корня в степень: чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
$(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$
4. Извлечение корня из корня: чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.
$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[kn]{a}$
5. Основное свойство корня: значение корня не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$
6. Свойство корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство.
$\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}$
7. Тождество $\sqrt[n]{a^n}$:
$\sqrt[n]{a^n} = a$, если $n$ — нечетное число.
$\sqrt[n]{a^n} = |a|$, если $n$ — четное число.
Ответ: Перечислены основные свойства корней: корень из произведения, корень из частного, возведение корня в степень, извлечение корня из корня, основное свойство корня и тождество $\sqrt[n]{a^n}$.

б) Требуется найти значение выражения $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}$ для любого действительного числа $a$.
Показатель корня $n = 2m+1$ является нечетным числом для любого целого $m$. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.
По определению, корень нечетной степени $n$ из числа $x$ есть такое число $y$, что $y^n = x$. В нашем случае мы ищем $y$ такое, что $y^{2m+1} = a^{2m+1}$. Очевидно, что $y=a$ удовлетворяет этому уравнению. Так как функция $y=x^{2m+1}$ является строго монотонной на всей числовой оси, это решение единственное.
Таким образом, для любого действительного числа $a$ выполняется тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$, если $n$ — нечетное.
Ответ: $a$

в) Требуется найти значение выражения $\sqrt[2m]{a^{2m}}$ для любого действительного числа $a$.
Показатель корня $n = 2m$ является четным числом (для любого натурального $m$). Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений, и его значение всегда неотрицательно.
Подкоренное выражение $a^{2m} = (a^m)^2$ всегда неотрицательно при любом действительном $a$, так что корень определен.
По определению, $\sqrt[n]{x}$ (где $n$ — четное) есть такое неотрицательное число $y$, что $y^n=x$. Мы ищем неотрицательное число $y$, такое что $y^{2m} = a^{2m}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $a$ — неотрицательное число. $a^{2m} = a^{2m}$. Значит, $\sqrt[2m]{a^{2m}} = a$. В этом случае $a = |a|$.
2. Если $a < 0$, то $-a > 0$. $(-a)^{2m} = (-1)^{2m} \cdot a^{2m} = 1 \cdot a^{2m} = a^{2m}$. Так как $-a$ — неотрицательное число и его $2m$-ая степень равна $a^{2m}$, то $\sqrt[2m]{a^{2m}} = -a$. В этом случае $-a = |a|$.
Объединяя оба случая, получаем, что $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$.
Ответ: $|a|$

г) Нужно проверить справедливость равенства $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$ при условиях: $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $p$ — целое число, $a$ — положительное число ($a > 0$).
Да, это равенство справедливо. Его можно доказать, используя определение степени с рациональным показателем, которое применимо, так как основание степени $a$ положительно.
По определению, $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.
Преобразуем левую часть равенства:
$L = \sqrt[n]{a^p} = (a^p)^{1/n}$
По свойству степеней $(x^y)^z = x^{yz}$, получаем:
$L = a^{p \cdot \frac{1}{n}} = a^{p/n}$
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$R = (\sqrt[n]{a})^p = (a^{1/n})^p$
По тому же свойству степеней, получаем:
$R = a^{\frac{1}{n} \cdot p} = a^{p/n}$
Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $a^{p/n}$, то равенство $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$ справедливо при заданных условиях.
Ответ: Да, справедливо.

Вычислите (3.67–3.69):

3.67

а) $(\sqrt{3})^2$;

б) $\sqrt[3]{8^2}$;

в) $\sqrt[3]{125^2}$;

г) $\sqrt[4]{81^3}$;

д) $\sqrt{49^3}$;

е) $\sqrt[3]{27^2}$;

ж) $\sqrt[4]{16^3}$;

з) $\sqrt[5]{32^4}$.

а) По определению квадратного корня, возведение корня в квадрат дает подкоренное выражение. Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$.
В данном случае: $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: 3

б) Для вычисления воспользуемся свойством степени корня: $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это позволяет сначала извлечь корень, а затем возвести в степень, что часто упрощает вычисления.
$\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2$.
Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) Используем то же свойство: $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2$.
Находим корень третьей степени из 125: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
Теперь возводим результат в квадрат: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[4]{81^3} = (\sqrt[4]{81})^3$.
Находим корень четвертой степени из 81. Так как $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.
Затем возводим результат в куб: $3^3 = 27$.
Ответ: 27

д) Выражение $\sqrt{49^3}$ представляет собой квадратный корень, то есть корень второй степени. Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt{49^3} = (\sqrt{49})^3$.
Так как $\sqrt{49} = 7$, то $(\sqrt{49})^3 = 7^3$.
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: 343

е) По свойству $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, имеем:
$\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2$.
Находим корень: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Возводим в степень: $3^2 = 9$.
Ответ: 9

ж) Применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Находим корень: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Возводим в степень: $2^3 = 8$.
Ответ: 8

з) Используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, получаем:
$\sqrt[5]{32^4} = (\sqrt[5]{32})^4$.
Находим корень пятой степени: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
Возводим результат в четвертую степень: $2^4 = 16$.
Ответ: 16

3.68 а) $\sqrt[4]{9^2}$;

б) $\sqrt[4]{25^2}$;

в) $\sqrt[6]{8^2}$;

г) $\sqrt[6]{16^3}$;

д) $\sqrt[6]{27^2}$;

е) $\sqrt[6]{81^3}$;

ж) $\sqrt[200]{49^{100}}$;

з) $\sqrt[300]{125^{100}}$.

а) $\sqrt[4]{9^2}$
Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойством корня, которое позволяет представить его в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{9^2} = 9^{\frac{2}{4}}$
Теперь сократим дробь в показателе степени:
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, выражение сводится к:
$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
Другой способ решения — это упрощение показателя корня и показателя степени подкоренного выражения, разделив их на общий делитель. В данном случае, показатели 4 и 2 можно разделить на 2:
$\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4/2]{9^{2/2}} = \sqrt[2]{9^1} = \sqrt{9} = 3$
Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{25^2}$
Представим выражение в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{25^2} = 25^{\frac{2}{4}}$
Сократим показатель степени:
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
В результате получаем:
$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
Альтернативно, можно сократить показатель корня (4) и показатель степени (2) на их общий делитель 2:
$\sqrt[4]{25^2} = \sqrt[4/2]{25^{2/2}} = \sqrt[2]{25^1} = \sqrt{25} = 5$
Ответ: 5

в) $\sqrt[6]{8^2}$
Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы представить корень в виде степени:
$\sqrt[6]{8^2} = 8^{\frac{2}{6}}$
Сокращаем дробный показатель:
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Получаем $8^{\frac{1}{3}}$, что является кубическим корнем из 8:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Также можно было сначала разложить число 8 на простые множители ($8 = 2^3$):
$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^6} = 2$
Ответ: 2

г) $\sqrt[6]{16^3}$
Перейдем от корня к степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{16^3} = 16^{\frac{3}{6}}$
Сократим показатель степени:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Выражение принимает вид $16^{\frac{1}{2}}$, что равно квадратному корню из 16:
$\sqrt{16} = 4$
Можно также упростить показатель корня (6) и показатель степени (3), разделив их на их общий делитель 3:
$\sqrt[6]{16^3} = \sqrt[6/3]{16^{3/3}} = \sqrt[2]{16^1} = \sqrt{16} = 4$
Ответ: 4

д) $\sqrt[6]{27^2}$
Представим корень в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{27^2} = 27^{\frac{2}{6}}$
Сократим дробь в показателе:
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Получаем $27^{\frac{1}{3}}$, что равносильно $\sqrt[3]{27}$:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Другой способ — разложить основание 27 на простые множители ($27 = 3^3$):
$\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^6} = 3$
Ответ: 3

е) $\sqrt[6]{81^3}$
Перейдем к степени с рациональным показателем:
$\sqrt[6]{81^3} = 81^{\frac{3}{6}}$
Сократим показатель:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Выражение равно $81^{\frac{1}{2}}$, что является квадратным корнем из 81:
$\sqrt{81} = 9$
Альтернативно, можно было сократить показатель корня и степени на их общий делитель 3:
$\sqrt[6]{81^3} = \sqrt[6/3]{81^{3/3}} = \sqrt[2]{81^1} = \sqrt{81} = 9$
Ответ: 9

ж) $\sqrt[200]{49^{100}}$
Воспользуемся представлением корня в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[200]{49^{100}} = 49^{\frac{100}{200}}$
Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$
Получаем $49^{\frac{1}{2}}$, что является квадратным корнем из 49:
$\sqrt{49} = 7$
Также можно было сократить показатель корня (200) и показатель степени (100) на их наибольший общий делитель, равный 100:
$\sqrt[200]{49^{100}} = \sqrt[200/100]{49^{100/100}} = \sqrt[2]{49^1} = \sqrt{49} = 7$
Ответ: 7

з) $\sqrt[300]{125^{100}}$
Представим выражение в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt[300]{125^{100}} = 125^{\frac{100}{300}}$
Сократим показатель степени:
$\frac{100}{300} = \frac{1}{3}$
Выражение равно $125^{\frac{1}{3}}$, что является кубическим корнем из 125:
$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3=125$.
Можно было также разложить 125 на простые множители ($125 = 5^3$):
$\sqrt[300]{125^{100}} = \sqrt[300]{(5^3)^{100}} = \sqrt[300]{5^{3 \cdot 100}} = \sqrt[300]{5^{300}} = 5$
Ответ: 5

3.69 а) $ \sqrt[4]{81}; $

б) $ \sqrt[4]{625}; $

в) $ \sqrt[4]{160\,000}; $

г) $ \sqrt[4]{0{,}0625}; $

д) $ \sqrt[6]{729}; $

е) $ \sqrt[6]{64\,000\,000}; $

ж) $ \sqrt[6]{0{,}000729}. $

а) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 81, необходимо найти такое неотрицательное число, четвертая степень которого равна 81. Разложим число 81 на множители, чтобы представить его в виде степени: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Таким образом, мы ищем $\sqrt[4]{3^4}$. По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$).
$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы вычислить корень четвертой степени из 625, найдем число, которое при возведении в четвертую степень дает 625. Так как число 625 оканчивается на 5, его корень (если он целый) тоже должен оканчиваться на 5. Проверим число 5: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Следовательно, $625 = 5^4$.
$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

в) Чтобы вычислить корень из $160 000$, представим подкоренное выражение в виде произведения чисел, из которых легче извлечь корень. Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$160 000 = 16 \cdot 10 000 = 2^4 \cdot 10^4 = (2 \cdot 10)^4 = 20^4$.
$\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{20^4} = 20$.
Другой способ:
$\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{16 \cdot 10 000} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10 000} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10^4} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

г) Чтобы вычислить корень из десятичной дроби $0,0625$, представим ее в виде обыкновенной дроби. $0,0625$ имеет 4 знака после запятой, значит, $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$.
Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.
$\frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

д) Чтобы вычислить корень шестой степени из 729, нужно найти такое неотрицательное число, шестая степень которого равна 729. Разложим 729 на множители: $729 = 9 \cdot 81 = 9 \cdot 9^2 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3

е) Чтобы вычислить корень из $64 000 000$, представим подкоренное выражение в виде произведения. $1 000 000$ это $10^6$.
$64 000 000 = 64 \cdot 1 000 000 = 2^6 \cdot 10^6 = (2 \cdot 10)^6 = 20^6$.
$\sqrt[6]{64 000 000} = \sqrt[6]{20^6} = 20$.
Другой способ:
$\sqrt[6]{64 000 000} = \sqrt[6]{64 \cdot 1 000 000} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1 000 000} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{10^6} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

ж) Чтобы вычислить корень из десятичной дроби $0,000729$, представим ее в виде обыкновенной дроби. $0,000729$ имеет 6 знаков после запятой, значит, $0,000729 = \frac{729}{1 000 000}$.
$\sqrt[6]{0,000729} = \sqrt[6]{\frac{729}{1 000 000}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{1 000 000}}$.
Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[6]{729} = 3$ и $\sqrt[6]{1 000 000} = 10$.
$\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: 0,3

3.70 Упростите¹:

а) $\sqrt[4]{x^4}$;

б) $\sqrt[4]{(-x)^4}$;

в) $\sqrt{(x-1)^2}$, если $x < 1$;

г) $\sqrt{(1-x)^2}$, если $x \ge 1$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{x^4}$ используется свойство корня четной степени, которое гласит, что $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня и показатель степени равны 4 (четное число).

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$

Выражение $|x|$ является окончательным упрощением, так как знак переменной $x$ неизвестен.

Ответ: $|x|$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-x)^4}$. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, то $(-x)^4 = x^4$. Таким образом, выражение можно переписать следующим образом:

$\sqrt[4]{(-x)^4} = \sqrt[4]{x^4}$

Как и в предыдущем пункте, применяем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$

Альтернативно, можно было сразу применить свойство к исходному выражению, где $a = -x$. Тогда $\sqrt[4]{(-x)^4} = |-x|$. Так как модуль противоположного числа равен модулю самого числа ($|-x| = |x|$), результат будет тем же.

Ответ: $|x|$

в)

Нужно упростить выражение $\sqrt{(x-1)^2}$ при условии, что $x < 1$.

Свойство квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим его:

$\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

Теперь необходимо раскрыть модуль, используя данное условие $x < 1$. Если $x < 1$, то разность $x-1$ будет отрицательной ($x-1 < 0$).

По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно, то его модуль равен противоположному ему выражению.

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

Ответ: $1-x$

г)

Нужно упростить выражение $\sqrt{(1-x)^2}$ при условии, что $x \ge 1$.

Используем то же свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(1-x)^2} = |1-x|$

Раскроем модуль, учитывая условие $x \ge 1$. Из этого условия следует, что разность $1-x$ будет неположительной ($1-x \le 0$).

По определению, модуль неположительного выражения равен противоположному выражению.

$|1-x| = -(1-x) = x-1$

Ответ: $x-1$

3.71 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt[3]{80}$;

б) $\sqrt[3]{81}$;

в) $\sqrt[3]{250}$;

г) $\sqrt[3]{-648}$;

д) $\sqrt[5]{a^7b}$;

е) $\sqrt[4]{16c^5d^6}$, если $c>0, d>0$;

ж) $\sqrt[4]{5x^4}$, если $x<0$;

з) $\sqrt[5]{3x^5y}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня $\sqrt[3]{80}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них являлся кубом целого числа.
Разложим число 80: $80 = 8 \times 10 = 2^3 \times 10$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{2^3 \times 10} = \sqrt[3]{2^3} \times \sqrt[3]{10} = 2\sqrt[3]{10}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{10}$.

б) Для выражения $\sqrt[3]{81}$ разложим число 81 на множители. Наибольший множитель, являющийся кубом целого числа, это 27.
$81 = 27 \times 3 = 3^3 \times 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^3 \times 3} = \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{3}$.

в) Для выражения $\sqrt[3]{250}$ разложим число 250 на множители. Наибольший множитель, являющийся кубом целого числа, это 125.
$250 = 125 \times 2 = 5^3 \times 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \times 2} = \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

г) Для выражения $\sqrt[3]{-648}$ воспользуемся свойством корня нечетной степени: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для нечетного $n$.
$\sqrt[3]{-648} = -\sqrt[3]{648}$.
Разложим число 648 на множители. Наибольший куб, на который делится 648, это 216 ($6^3 = 216$).
$648 = 216 \times 3 = 6^3 \times 3$.
Следовательно:
$-\sqrt[3]{648} = -\sqrt[3]{6^3 \times 3} = -(\sqrt[3]{6^3} \times \sqrt[3]{3}) = -6\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $-6\sqrt[3]{3}$.

д) Для выражения $\sqrt[5]{a^7b}$ представим степень $a^7$ в виде произведения $a^5 \cdot a^2$, чтобы выделить множитель в пятой степени.
$\sqrt[5]{a^7b} = \sqrt[5]{a^5 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt[5]{a^5} \times \sqrt[5]{a^2b}$.
Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[5]{a^5} = a$.
Получаем: $a\sqrt[5]{a^2b}$.
Ответ: $a\sqrt[5]{a^2b}$.

е) Для выражения $\sqrt[4]{16c^5d^6}$ при условии $c > 0, d > 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся четвертыми степенями:
$16 = 2^4$
$c^5 = c^4 \cdot c$
$d^6 = d^4 \cdot d^2$
Подставим разложения в корень:
$\sqrt[4]{16c^5d^6} = \sqrt[4]{2^4 \cdot c^4 \cdot c \cdot d^4 \cdot d^2} = \sqrt[4]{(2^4c^4d^4) \cdot (cd^2)}$.
Выносим множители:
$\sqrt[4]{(2cd)^4} \times \sqrt[4]{cd^2}$.
Для корня четной степени $\sqrt[n]{x^n} = |x|$, поэтому $\sqrt[4]{(2cd)^4} = |2cd|$.
По условию $c > 0$ и $d > 0$, значит $2cd > 0$, и $|2cd| = 2cd$.
Ответ: $2cd\sqrt[4]{cd^2}$.

ж) Для выражения $\sqrt[4]{5x^4}$ при условии $x < 0$.
Выносим множитель из-под корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{5x^4} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{x^4}$.
Так как степень корня четная, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
По условию задачи $x < 0$, следовательно, $|x| = -x$.
Таким образом, получаем:
$|x|\sqrt[4]{5} = -x\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $-x\sqrt[4]{5}$.

з) Для выражения $\sqrt[5]{3x^5y}$.
Степень корня нечетная (5), поэтому при извлечении корня из степени с тем же показателем знак сохраняется: $\sqrt[5]{x^5} = x$.
Выносим множитель $x^5$ из-под знака корня:
$\sqrt[5]{3x^5y} = \sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{3y} = x\sqrt[5]{3y}$.
Ответ: $x\sqrt[5]{3y}$.

3.72 Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4};$

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18};$

в) $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b};$

г) $\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4};$

д) $\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c};$

е) $\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2};$

ж) $\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c};$

з) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x};$

и) $\sqrt[3]{a^5} \cdot \sqrt[3]{a^4}.$

а) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$ воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. В результате получаем: $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.
Ответ: $2$

б) Применим свойство произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{3 \cdot 18} = \sqrt[3]{54}$. Разложим подкоренное выражение $54$ на множители, чтобы выделить полный куб: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$. Теперь можно вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

в) Сначала перемножим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$: $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b} = 5 \cdot \sqrt[3]{2a \cdot 4b} = 5\sqrt[3]{8ab}$. Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем: $5\sqrt[3]{8ab} = 5 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{ab} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{ab} = 10\sqrt[3]{ab}$.
Ответ: $10\sqrt[3]{ab}$

г) Сгруппируем числовой коэффициент и перемножим корни: $\sqrt[5]{a^2} \cdot 2\sqrt[5]{a^4} = 2 \cdot (\sqrt[5]{a^2} \cdot \sqrt[5]{a^4}) = 2\sqrt[5]{a^2 \cdot a^4}$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим подкоренное выражение: $2\sqrt[5]{a^{2+4}} = 2\sqrt[5]{a^6}$. Вынесем множитель из-под знака корня, представив $a^6$ как $a^5 \cdot a$: $2\sqrt[5]{a^5 \cdot a} = 2 \cdot \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{a} = 2a\sqrt[5]{a}$.
Ответ: $2a\sqrt[5]{a}$

д) Используем свойство произведения корней: $\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c} = \sqrt[3]{2c^2 \cdot 4c} = \sqrt[3]{8c^3}$. Извлечем кубический корень из каждого множителя под корнем: $\sqrt[3]{8c^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot c^3} = \sqrt[3]{(2c)^3} = 2c$.
Ответ: $2c$

е) Перемножим подкоренные выражения: $\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2} = \sqrt[3]{9x \cdot 9x^2} = \sqrt[3]{81x^3}$. Разложим число $81$ на множители, чтобы выделить полный куб: $81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$. $\sqrt[3]{81x^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3x\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $3x\sqrt[3]{3}$

ж) Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$: $\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c} = \sqrt[11]{abc}$.
Ответ: $\sqrt[11]{abc}$

з) Используем свойство произведения корней и свойство степеней: $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a \cdot a^2 \cdot x} = \sqrt[3]{a^{1+2} \cdot x} = \sqrt[3]{a^3x}$. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{a^3x} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{x} = a\sqrt[3]{x}$.
Ответ: $a\sqrt[3]{x}$

и) Перемножим корни и сложим показатели степеней под корнем: $\sqrt[3]{a^5} \cdot \sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^5 \cdot a^4} = \sqrt[3]{a^{5+4}} = \sqrt[3]{a^9}$. Для извлечения корня можно использовать свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$: $\sqrt[3]{a^9} = a^{9/3} = a^3$.
Ответ: $a^3$

3.73 Внесите множитель под знак корня:

а) $3 \sqrt[3]{\frac{1}{9}};$

б) $2 \sqrt[4]{\frac{1}{8}};$

в) $5 \sqrt[3]{\frac{1}{a}};$

г) $7 \sqrt[5]{\frac{1}{b}};$

д) $b \sqrt[3]{\frac{a}{b}};$

е) $c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}};$

ж) $\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2x}{a^2y}};$

з) $\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2x}{a^7}}$, где $b > 0$.

а) Чтобы внести множитель $3$ под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$. Затем умножить подкоренное выражение на полученное число.$3 \sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{27 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{27}{9}} = \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}$

б) Чтобы внести множитель $2$ под знак корня четвертой степени, необходимо возвести его в четвертую степень: $2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}$.$2 \sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[4]{16 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{16}{8}} = \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2}$

в) Внесем множитель $5$ под знак кубического корня, возведя его в куб: $5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}$.$5 \sqrt[3]{\frac{1}{a}} = \sqrt[3]{125 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt[3]{\frac{125}{a}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{125}{a}}$

г) Внесем множитель $7$ под знак корня пятой степени, возведя его в пятую степень: $7 = \sqrt[5]{7^5} = \sqrt[5]{16807}$.$7 \sqrt[5]{\frac{1}{b}} = \sqrt[5]{16807 \cdot \frac{1}{b}} = \sqrt[5]{\frac{16807}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[5]{\frac{16807}{b}}$

д) Внесем множитель $b$ под знак кубического корня, возведя его в третью степень: $b = \sqrt[3]{b^3}$.$b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \sqrt[3]{b^3 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt[3]{\frac{ab^3}{b}} = \sqrt[3]{ab^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{ab^2}$

е) Внесем множитель $c$ под знак кубического корня, возведя его в третью степень: $c = \sqrt[3]{c^3}$.$c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^3 \cdot \frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{\frac{c^3x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^2x^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{c^2x^2}$

ж) Внесем множитель $\frac{ay}{b}$ под знак кубического корня, возведя его в куб: $(\frac{ay}{b})^3 = \frac{a^3y^3}{b^3}$.$\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2x}{a^2y}} = \sqrt[3]{\left(\frac{ay}{b}\right)^3 \cdot \frac{b^2x}{a^2y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3y^3}{b^3} \cdot \frac{b^2x}{a^2y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3y^3b^2x}{b^3a^2y}}$.Сократим дроби под корнем: $\sqrt[3]{\frac{a^{3-2}y^{3-1}x}{b^{3-2}}} = \sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$

з) Внесем множитель $\frac{a^2}{b}$ под знак корня четвертой степени. Так как по условию $b > 0$, а $a^2 \ge 0$, то множитель $\frac{a^2}{b}$ неотрицателен, и его можно внести под корень четной степени, возведя в соответствующую степень.Возведем множитель в четвертую степень: $\left(\frac{a^2}{b}\right)^4 = \frac{(a^2)^4}{b^4} = \frac{a^8}{b^4}$.$\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2x}{a^7}} = \sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{b}\right)^4 \cdot \frac{b^2x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8}{b^4} \cdot \frac{b^2x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8b^2x}{b^4a^7}}$.Сократим дроби под корнем: $\sqrt[4]{\frac{a^{8-7}x}{b^{4-2}}} = \sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$