Страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.89 Какие точки принадлежат всем графикам функций $y = \sqrt[n]{x}$ при:

а) чётных $n$;

б) нечётных $n$?

а) чётных n

Мы ищем точки с координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $y = \sqrt[n]{x}$ для всех чётных натуральных чисел $n \ge 2$. Если точка принадлежит всем таким графикам, то её координаты должны удовлетворять уравнению для любых двух различных чётных $n$. Возьмём для примера $n=2$ и $n=4$. Тогда для искомой точки $(x, y)$ должны одновременно выполняться равенства $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[4]{x}$.

Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение $\sqrt{x} = \sqrt[4]{x}$. Область определения для корней чётной степени — это $x \ge 0$. Чтобы решить данное уравнение, возведём обе его части в четвёртую степень: $(\sqrt{x})^4 = (\sqrt[4]{x})^4$, что приводит к уравнению $x^2 = x$.

Перенесём все члены в левую часть и вынесем общий множитель:
$x^2 - x = 0$
$x(x-1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Теперь необходимо проверить, действительно ли точки с этими абсциссами принадлежат графикам функции $y = \sqrt[n]{x}$ для всех чётных $n$.
1. При $x=0$, получаем $y = \sqrt[n]{0} = 0$ для любого чётного $n$. Следовательно, точка $(0, 0)$ принадлежит всем рассматриваемым графикам.
2. При $x=1$, получаем $y = \sqrt[n]{1} = 1$ для любого чётного $n$. Следовательно, точка $(1, 1)$ также принадлежит всем рассматриваемым графикам.

Поскольку другие точки не удовлетворяют условию даже для $n=2$ и $n=4$, других общих точек для всех чётных $n$ не существует.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) нечётных n

Мы ищем точки с координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $y = \sqrt[n]{x}$ для всех нечётных натуральных чисел $n \ge 3$. Как и в предыдущем пункте, если точка является общей для всех графиков, её координаты должны удовлетворять уравнению для любых двух нечётных $n$. Возьмём для примера $n=3$ и $n=5$. Тогда должны выполняться равенства $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[5]{x}$, из чего следует уравнение $\sqrt[3]{x} = \sqrt[5]{x}$.

В отличие от случая с чётными показателями, корень нечётной степени определён для любых действительных чисел $x$. Чтобы решить это уравнение, возведём обе части в 15-ю степень (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5): $(\sqrt[3]{x})^{15} = (\sqrt[5]{x})^{15}$, что даёт $x^5 = x^3$.

Перенесём все члены в левую часть и разложим на множители:
$x^5 - x^3 = 0$
$x^3(x^2 - 1) = 0$
$x^3(x-1)(x+1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$. Проверим, являются ли точки с этими абсциссами общими для всех графиков с нечётным $n$:
1. При $x=0$, получаем $y = \sqrt[n]{0} = 0$ для любого нечётного $n$. Значит, точка $(0, 0)$ является общей.
2. При $x=1$, получаем $y = \sqrt[n]{1} = 1$ для любого нечётного $n$. Значит, точка $(1, 1)$ является общей.
3. При $x=-1$, получаем $y = \sqrt[n]{-1} = -1$ для любого нечётного $n$, так как $(-1)^n = -1$ при нечётном $n$. Значит, точка $(-1, -1)$ является общей.

Других общих точек нет, так как мы нашли все возможные решения на примере $n=3$ и $n=5$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

3.90 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = \sqrt[5]{x}$;

в) $y = \sqrt[7]{x}$.

Для построения графиков функций вида $y = \sqrt[n]{x}$ с нечетным показателем корня $n$, проанализируем их общие свойства, так как все три предложенные функции относятся к этому типу.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Все эти функции являются нечетными, поскольку $y(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x} = -y(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно начала координат $(0, 0)$.
• Монотонность: Функции являются возрастающими на всей своей области определения.
• Ключевые точки: Все графики проходят через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
• Поведение: С увеличением нечетного показателя $n$, график функции для $|x| > 1$ становится более пологим (приближается к оси Ox), а для $|x| < 1$ становится более крутым (приближается к оси Oy). Во всех случаях график имеет вертикальную касательную в точке $(0,0)$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это функция кубического корня. Для построения графика составим таблицу значений, выбирая для $x$ числа, являющиеся точными кубами.

Построение: Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Учитываем, что график симметричен относительно начала координат. В первой четверти он похож на ветвь параболы $x=y^3$. Аналогично, в третьей четверти график является ее отражением относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат и проходящая, в частности, через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(8, 2)$.

б) $y = \sqrt[5]{x}$

Это функция корня пятой степени. Ее свойства аналогичны кубическому корню. Составим таблицу значений, используя числа, являющиеся точными пятыми степенями.

Построение: Построим график, соединив указанные точки плавной линией. По сравнению с графиком $y = \sqrt[3]{x}$, этот график будет лежать ниже на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ (ближе к оси Ox) и выше на промежутках $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ (ближе к оси Oy).

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-32, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(32, 2)$ и более "прижатая" к осям координат, чем график кубического корня.

в) $y = \sqrt[7]{x}$

Это функция корня седьмой степени. Свойства аналогичны предыдущим. Составим таблицу значений, используя числа, являющиеся точными седьмыми степенями.

Построение: График этой функции еще сильнее "прижат" к оси Ox при $|x| > 1$ и к оси Oy при $|x| < 1$ по сравнению с графиками корней меньших нечетных степеней. Соединяем точки из таблицы плавной кривой с учетом симметрии.

Ответ: График функции $y = \sqrt[7]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-128, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(128, 2)$ и являющаяся самой "пологой" из трех при $|x|>1$.

3.91 Какова область изменения функции $y = \sqrt[n]{x}$ при:

а) чётном $n$;

б) нечётном $n$?

Область изменения функции (также называемая множеством значений функции) — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$. Рассмотрим два случая в зависимости от чётности показателя корня $n$.

а) чётном n;
Когда $n$ является чётным натуральным числом ($n = 2, 4, 6, \dots$), функция имеет вид $y = \sqrt[n]{x}$.
1. Область определения: Корень чётной степени в поле действительных чисел определён только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, область определения этой функции — $x \in [0; +\infty)$.
2. Множество значений: По определению, арифметический корень чётной степени $\sqrt[n]{x}$ — это такое неотрицательное число $y$, которое при возведении в степень $n$ даёт $x$. Из этого определения следует, что $y$ не может быть отрицательным, то есть $y \ge 0$.
Проверим, достигаются ли все неотрицательные значения. Возьмём любое число $c \ge 0$ и попробуем найти такое $x$, чтобы $y = c$.
$c = \sqrt[n]{x}$
Возводя обе части в чётную степень $n$, получаем:
$x = c^n$
Поскольку $c \ge 0$, то и $x = c^n \ge 0$. Такое значение $x$ входит в область определения функции. Это означает, что для любого неотрицательного числа $c$ можно найти соответствующее значение $x$. Например, для $y=0$ имеем $x=0^n=0$; для $y=2$ имеем $x=2^n$.
Таким образом, когда $n$ чётное, функция $y = \sqrt[n]{x}$ может принимать любые значения от 0 до $+\infty$.
Ответ: Множество значений функции — это луч $[0; +\infty)$.

б) нечётном n?
Когда $n$ является нечётным натуральным числом, большим единицы ($n = 3, 5, 7, \dots$), функция имеет вид $y = \sqrt[n]{x}$.
1. Область определения: Корень нечётной степени определён для любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
2. Множество значений: Значение корня нечётной степени может быть любым действительным числом. Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Если $x=0$, то $y=0$.
Проверим, достигаются ли все действительные значения. Возьмём любое действительное число $c$ и попробуем найти такое $x$, чтобы $y = c$.
$c = \sqrt[n]{x}$
Возводя обе части в нечётную степень $n$, получаем:
$x = c^n$
Для любого действительного числа $c$ (положительного, отрицательного или нуля) значение $x = c^n$ является действительным числом и входит в область определения. Это означает, что для любого действительного числа $c$ можно найти соответствующее значение $x$. Например, для $y=-2$ имеем $x=(-2)^n$, что является отрицательным числом, так как $n$ нечётно.
Таким образом, когда $n$ нечётное, функция $y = \sqrt[n]{x}$ может принимать любое действительное значение.
Ответ: Множество значений функции — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

3.92 Является ли функция $y = \sqrt[2m+1]{x}$ $(m \in N)$ возрастающей?

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[2m+1]{x}$, где $m \in \mathbb{N}$.

Поскольку $m$ является натуральным числом (то есть $m \ge 1$), показатель корня $k = 2m+1$ является нечетным целым числом, большим или равным 3 (например, 3, 5, 7, ...).

Область определения функции с нечетным показателем корня — это все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля).

Чтобы определить, является ли функция возрастающей, можно исследовать ее на монотонность. Сделаем это двумя способами.

Способ 1: Исследование с помощью производной.

Функция является возрастающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна (и обращается в ноль лишь в отдельных точках). Представим функцию в виде степенной функции $y = x^{\frac{1}{2m+1}}$ и найдем ее производную:

$y' = \left(x^{\frac{1}{2m+1}}\right)' = \frac{1}{2m+1} x^{\frac{1}{2m+1} - 1} = \frac{1}{2m+1} x^{\frac{1 - (2m+1)}{2m+1}} = \frac{1}{2m+1} x^{\frac{-2m}{2m+1}}$.

Перепишем производную в виде дроби с корнем:

$y' = \frac{1}{(2m+1)x^{\frac{2m}{2m+1}}} = \frac{1}{(2m+1)\sqrt[2m+1]{x^{2m}}} = \frac{1}{(2m+1)(\sqrt[2m+1]{x})^{2m}}$.

Проанализируем знак производной $y'$ для $x \neq 0$ (в точке $x=0$ производная не определена, так как знаменатель обращается в ноль). Знаменатель состоит из двух множителей: $(2m+1)$ и $(\sqrt[2m+1]{x})^{2m}$.

Первый множитель $(2m+1)$ всегда положителен, так как по условию $m \in \mathbb{N}$.

Второй множитель $(\sqrt[2m+1]{x})^{2m}$ является результатом возведения ненулевого числа $\sqrt[2m+1]{x}$ в четную степень $2m$, поэтому он всегда положителен при $x \neq 0$.

Следовательно, знаменатель дроби положителен, числитель равен 1 (также положителен). Это означает, что производная $y' > 0$ для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Так как функция $y(x)$ непрерывна на всей числовой оси (включая точку $x=0$), а ее производная положительна почти всюду на области определения, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Способ 2: По определению возрастающей функции.

Функция $f(x)$ называется возрастающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Пусть $k=2m+1$. Нам нужно доказать, что если $x_1 < x_2$, то $\sqrt[k]{x_1} < \sqrt[k]{x_2}$.

Рассмотрим функцию $g(y) = y^k$, где $k$ — нечетное натуральное число. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что если $y_1 < y_2$, то и $y_1^k < y_2^k$.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что для некоторых $x_1 < x_2$ выполняется обратное неравенство: $\sqrt[k]{x_1} \ge \sqrt[k]{x_2}$.

Поскольку функция $g(y) = y^k$ с нечетным $k$ является возрастающей, мы можем возвести обе части этого неравенства в степень $k$, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[k]{x_1})^k \ge (\sqrt[k]{x_2})^k$

$x_1 \ge x_2$

Полученное неравенство $x_1 \ge x_2$ противоречит исходному условию $x_1 < x_2$. Следовательно, наше предположение было неверным, и из $x_1 < x_2$ всегда следует $\sqrt[k]{x_1} < \sqrt[k]{x_2}$.

Таким образом, функция $y = \sqrt[2m+1]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Да, данная функция является возрастающей.

Постройте графики функций (3.93–3.94):

3.93 а) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = \sqrt[3]{-x}$;

в) $y = \sqrt[3]{|x|}$;

г) $y = \sqrt[3]{x - 2}$;

д) $y = \sqrt[3]{x - 2}$;

е) $y = \sqrt[3]{2 - x}$;

ж) $y = |\sqrt[3]{x - 2}|$;

з) $y = \sqrt[3]{2 - |x|}$;

и) $y = |\sqrt[3]{2 - |x|} - 1|$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это график базовой функции кубического корня. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений функции — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является нечетной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат. Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

- при $x=0, y=\sqrt[3]{0}=0$; - при $x=1, y=\sqrt[3]{1}=1$; - при $x=8, y=\sqrt[3]{8}=2$; - при $x=-1, y=\sqrt[3]{-1}=-1$; - при $x=-8, y=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. График проходит через начало координат, монотонно возрастает на всей области определения. В точке (0, 0) касательная к графику вертикальна.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2) и монотонно возрастающая на всей числовой оси.

б) $y = \sqrt[3]{-x}$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ (пункт а) с помощью преобразования симметрии. Преобразование вида $y = f(-x)$ соответствует отражению графика функции $y=f(x)$ относительно оси OY. Таким образом, мы берем график $y = \sqrt[3]{x}$ и отражаем его симметрично относительно оси ординат. Ключевые точки для нового графика:

- при $x=0, y=0$; - при $x=-1, y=\sqrt[3]{-(-1)}=1$; - при $x=-8, y=\sqrt[3]{-(-8)}=2$; - при $x=1, y=\sqrt[3]{-1}=-1$; - при $x=8, y=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Заметим также, что $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$. Это означает, что тот же график можно было получить, отразив график $y = \sqrt[3]{x}$ относительно оси OX. Функция является нечетной и монотонно убывает.

Ответ: График функции получается отражением графика $y=\sqrt[3]{x}$ относительно оси OY (или оси OX). Это монотонно убывающая кривая, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки (-8, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, -1), (8, -2).

в) $y = \sqrt[3]{|x|}$

График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью преобразования, связанного с модулем аргумента. Преобразование вида $y = f(|x|)$ выполняется следующим образом: 1. Строится график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$. 2. Построенная часть графика отражается симметрично относительно оси OY.

Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому функция совпадает с $y = \sqrt[3]{x}$. Оставляем часть графика из пункта а), которая находится в первой координатной четверти (включая начало координат). Ключевые точки этой части: (0, 0), (1, 1), (8, 2). Теперь отражаем эту часть графика относительно оси OY. Точка (1, 1) перейдет в (-1, 1), точка (8, 2) — в (-8, 2). Полученная функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. В точке (0, 0) график имеет "клюв" (точку заострения).

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\sqrt[3]{x}$. Ветви графика выходят из точки (0, 0) и направлены вверх, проходя через точки (1, 1), (8, 2) и (-1, 1), (-8, 2).

г) $y = \sqrt[3]{x} - 2$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем вертикального сдвига. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси OY. В данном случае $c = -2$, что означает сдвиг вниз на 2 единицы. Берем график $y = \sqrt[3]{x}$ из пункта а) и сдвигаем его целиком на 2 единицы вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на исходном графике перейдет в точку $(x_0, y_0 - 2)$. - (0, 0) → (0, -2) - (1, 1) → (1, -1) - (8, 2) → (8, 0) (это точка пересечения с осью OX) - (-1, -1) → (-1, -3) - (-8, -2) → (-8, -4)

Форма кривой сохраняется. Центр симметрии смещается из (0, 0) в (0, -2).

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вниз вдоль оси OY. Это монотонно возрастающая кривая, центр симметрии которой находится в точке (0, -2).

д) $y = \sqrt[3]{x-2}$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем горизонтального сдвига. Преобразование вида $y = f(x-a)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси OX. В данном случае $a=2$, что означает сдвиг вправо на 2 единицы. Берем график $y = \sqrt[3]{x}$ из пункта а) и сдвигаем его целиком на 2 единицы вправо. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на исходном графике перейдет в точку $(x_0 + 2, y_0)$. - (0, 0) → (2, 0) (это точка пересечения с осью OX) - (1, 1) → (3, 1) - (8, 2) → (10, 2) - (-1, -1) → (1, -1) - (-8, -2) → (-6, -2)

Форма кривой сохраняется. Центр симметрии смещается из (0, 0) в (2, 0).

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Это монотонно возрастающая кривая, центр симметрии которой находится в точке (2, 0).

е) $y = \sqrt[3]{2-x}$

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика $y = \sqrt[3]{x}$. Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt[3]{-(x-2)}$. 1. Строим график $y_1 = \sqrt[3]{x}$ (как в пункте а). 2. Отражаем его симметрично относительно оси OY, чтобы получить график $y_2 = \sqrt[3]{-x}$ (как в пункте б). Это убывающая кривая, проходящая через (0,0). 3. Сдвигаем полученный график $y_2$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Это даст нам искомый график $y = \sqrt[3]{-(x-2)} = \sqrt[3]{2-x}$.

Ключевые точки графика $y_2$ смещаются: - (0, 0) → (2, 0) - (-1, 1) → (1, 1) - (-8, 2) → (-6, 2) - (1, -1) → (3, -1)

Итоговый график — это убывающая кривая, проходящая через точку (2,0), которая является ее центром симметрии.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{-x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Это монотонно убывающая кривая, симметричная относительно точки (2, 0).

ж) $y = |\sqrt[3]{x} - 2|$

График этой функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x} - 2$ (пункт г) применением операции взятия модуля ко всей функции. Преобразование вида $y = |f(x)|$ выполняется так: 1. Строится график функции $y = f(x)$. В нашем случае это $y = \sqrt[3]{x} - 2$. 2. Часть графика, расположенная ниже оси OX (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси OX. 3. Часть графика, расположенная выше или на оси OX (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

График $y = \sqrt[3]{x} - 2$ пересекает ось OX в точке, где $y=0$, то есть $\sqrt[3]{x} - 2 = 0$, откуда $x=8$. - При $x \ge 8$, $\sqrt[3]{x} \ge 2$, так что $\sqrt[3]{x}-2 \ge 0$. Эта часть графика $y = \sqrt[3]{x}-2$ не меняется. - При $x < 8$, $\sqrt[3]{x} < 2$, так что $\sqrt[3]{x}-2 < 0$. Эта часть графика отражается относительно оси OX.

Ключевые точки: - Точка (8, 0) остается на месте, в ней будет "клюв". - Точка (0, -2) переходит в (0, 2). - Точка (1, -1) переходит в (1, 1). - Точка (-8, -4) переходит в (-8, 4).

Ответ: График получается из графика $y = \sqrt[3]{x}-2$ отражением его части при $x<8$ относительно оси OX. График расположен полностью в верхней полуплоскости, касается оси OX в точке (8, 0), где имеет излом.

з) $y = \sqrt[3]{2-|x|}$

Это четная функция, так как $y(-x) = \sqrt[3]{2-|-x|} = \sqrt[3]{2-|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = \sqrt[3]{2-x}$. Это в точности график из пункта е) для неотрицательных $x$. Построим эту часть графика: - При $x=0, y=\sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Это точка максимума. - При $x=1, y=\sqrt[3]{1}=1$. - При $x=2, y=\sqrt[3]{0}=0$. Точка пересечения с осью OX. - При $x=10, y=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Теперь отразим эту ветвь (убывающую кривую из точки $(0, \sqrt[3]{2})$ через $(2,0)$) симметрично относительно оси OY. Получим вторую ветвь, проходящую через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 0)$. График имеет "клюв" в точке максимума $(0, \sqrt[3]{2})$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Он состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, \sqrt[3]{2})$ и пересекающих ось OX в точках (2, 0) и (-2, 0). В точке $(0, \sqrt[3]{2})$ график имеет излом (пик).

и) $y = |\sqrt[3]{2-|x|} - 1|$

Построение этого графика выполним в несколько шагов: 1. Возьмем график функции $y_1 = \sqrt[3]{2-|x|}$ из предыдущего пункта (з). 2. Построим график функции $y_2 = y_1 - 1 = \sqrt[3]{2-|x|} - 1$. Это сдвиг графика $y_1$ на 1 единицу вниз. Пик из точки $(0, \sqrt[3]{2})$ переместится в точку $(0, \sqrt[3]{2}-1)$. Точки пересечения с осью OX $(2, 0)$ и $(-2, 0)$ переместятся в $(2, -1)$ и $(-2, -1)$. Найдем новые точки пересечения с осью OX для $y_2$: $\sqrt[3]{2-|x|} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{2-|x|} = 1 \implies 2-|x|=1 \implies |x|=1$. То есть, $x=1$ и $x=-1$. 3. Построим искомый график $y = |y_2| = |\sqrt[3]{2-|x|} - 1|$. Для этого часть графика $y_2$, которая лежит ниже оси OX, отразим симметрично относительно оси OX.

График $y_2$ лежит ниже оси OX при $|x|>1$. Эта часть отражается вверх. - Точки $(2, -1)$ и $(-2, -1)$ на графике $y_2$ перейдут в точки $(2, 1)$ и $(-2, 1)$ на итоговом графике.

График $y_2$ лежит выше оси OX при $|x|<1$. Эта часть остается без изменений. - Она включает пик в точке $(0, \sqrt[3]{2}-1)$.

Точки пересечения с осью OX $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ остаются на месте. В этих точках будут изломы ("клювы").

Ответ: График симметричен относительно оси OY и имеет форму, напоминающую букву W. Он касается оси OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, где имеет изломы. Локальный максимум находится в точке $(0, \sqrt[3]{2}-1)$, где также наблюдается излом. Весь график находится в верхней полуплоскости.

3.94 a) $y = \sqrt[4]{x}$;

б) $y = \sqrt[4]{-x}$;

В) $y = \sqrt[4]{|x|}$;

Г) $y = \sqrt[4]{x - 2}$;

Д) $y = \sqrt[4]{x - 2}$;

е) $y = \sqrt[4]{2 - x}$;

Ж) $y = \left|\sqrt[4]{x - 2}\right|$;

З) $y = \sqrt[4]{2 - |x|}$;

И) $y = \left|\sqrt[4]{2 - |x|} - 1\right|$.

а) Для функции $y = \sqrt[4]{x}$.
Область определения ($D(y)$): Так как корень четной степени (4-й), выражение под корнем должно быть неотрицательным. Отсюда получаем неравенство: $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Арифметический корень четной степени по определению принимает только неотрицательные значения. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$. При неограниченном увеличении $x$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt[4]{-x}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $x \le 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений ($E(y)$): Корень четной степени принимает только неотрицательные значения. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$. При $x \to -\infty$, выражение $-x \to +\infty$, и $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0]$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt[4]{|x|}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $|x|$ должно быть неотрицательным. Так как модуль любого действительного числа $|x| \ge 0$, это условие выполняется для любого $x$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений ($E(y)$): Выражение $|x|$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$. Корень четвертой степени из этих значений будет также принимать значения из промежутка $[0; +\infty)$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt[4]{x} - 2$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Выражение $\sqrt[4]{x}$ принимает значения из промежутка $[0; +\infty)$. Тогда выражение $y = \sqrt[4]{x} - 2$ будет принимать значения от $0-2 = -2$ до $+\infty$. Таким образом, область значений: $E(y) = [-2; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

д) Для функции $y = \sqrt[4]{x-2}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x-2$ должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [2; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Когда $x$ изменяется от $2$ до $+\infty$, выражение $x-2$ изменяется от $0$ до $+\infty$. Корень четвертой степени из этих значений будет принимать значения из промежутка $[0; +\infty)$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

е) Для функции $y = \sqrt[4]{2-x}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $2-x$ должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$.
Область значений ($E(y)$): Когда $x$ изменяется от $2$ до $-\infty$, выражение $2-x$ изменяется от $0$ до $+\infty$. Корень четвертой степени из этих значений будет принимать значения из промежутка $[0; +\infty)$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 2]$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

ж) Для функции $y = |\sqrt[4]{x} - 2|$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений ($E(y)$): Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x} - 2$. Ее область значений, как мы нашли в пункте г), есть $[-2; +\infty)$. Так как $y = |f(x)|$, значения $y$ будут неотрицательными. Минимальное значение $y=0$ достигается, когда $f(x)=0$, то есть $\sqrt[4]{x}=2$ или $x=16$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$ и $y \to +\infty$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

з) Для функции $y = \sqrt[4]{2-|x|}$.
Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $2-|x|$ должно быть неотрицательным: $2-|x| \ge 0$, что эквивалентно $|x| \le 2$. Это неравенство выполняется при $-2 \le x \le 2$. Таким образом, область определения: $D(y) = [-2; 2]$.
Область значений ($E(y)$): На отрезке $[-2; 2]$ выражение $|x|$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $2$ (при $x=\pm2$). Тогда подкоренное выражение $2-|x|$ принимает значения от $2-2=0$ до $2-0=2$. Следовательно, $y = \sqrt[4]{2-|x|}$ принимает значения от $\sqrt[4]{0}=0$ до $\sqrt[4]{2}$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; \sqrt[4]{2}]$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [0; \sqrt[4]{2}]$.

и) Для функции $y = |\sqrt[4]{2-|x|} - 1|$.
Область определения ($D(y)$): Аналогично пункту з), выражение под корнем $2-|x| \ge 0$, откуда $D(y) = [-2; 2]$.
Область значений ($E(y)$): Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{2-|x|} - 1$. Из пункта з) мы знаем, что $\sqrt[4]{2-|x|}$ принимает значения из отрезка $[0; \sqrt[4]{2}]$. Тогда $f(x)$ принимает значения из отрезка $[0-1; \sqrt[4]{2}-1]$, то есть $[-1; \sqrt[4]{2}-1]$. Функция $y$ является модулем от $f(x)$: $y=|f(x)|$. Так как $0$ входит в промежуток $[-1; \sqrt[4]{2}-1]$, минимальное значение $y$ равно $0$. Максимальное значение будет равно $\max(|-1|, |\sqrt[4]{2}-1|)$. Поскольку $1 < \sqrt[4]{2} < 2$, то $0 < \sqrt[4]{2}-1 < 1$. Следовательно, $\max(1, \sqrt[4]{2}-1) = 1$. Таким образом, область значений: $E(y) = [0; 1]$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [0; 1]$.

3.95* Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 8x + 15};$

б) $y = \sqrt[4]{12 + 4x - x^2} + \sqrt[6]{x^2 - 3x - 10};$

в) $y = \sqrt{\frac{-x + 5}{x + 1}} + \sqrt{\frac{x}{x - 3}};$

г) $y = \sqrt{\frac{x + 3}{-x + 6}} + \sqrt[3]{\frac{x - 4}{x + 1}};$

д) $y = \frac{\sqrt{(x^2 + 3x - 10) \cdot |x + 1|}}{\sqrt{-x^2 - x + 2}};$

е) $y = \frac{\sqrt{(x^2 + x - 6) \cdot |x + 2|}}{\sqrt[5]{-x^2 - x + 12}}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 8x + 15}$ находится из условия, что подкоренные выражения корней четной степени (квадратного и четвертой степени) должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases}-x^2 + 6x - 5 \ge 0 \\x^2 - 8x + 15 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $-x^2 + 6x - 5 \ge 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x + 5 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x + 5$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 6x + 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [1, 5]$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = 5$. Ветви параболы $y = x^2 - 8x + 15$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $D = [1, 5] \cap ((-\infty, 3] \cup [5, \infty))$. Пересечением является множество $[1, 3] \cup \{5\}$.
Ответ: $D(y) = [1, 3] \cup \{5\}$.

б) Область определения функции $y = \sqrt[4]{12 + 4x - x^2} + \sqrt[6]{x^2 - 3x - 10}$ определяется системой неравенств, так как оба корня имеют четную степень:
$\begin{cases}12 + 4x - x^2 \ge 0 \\x^2 - 3x - 10 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $12 + 4x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 4x - 12 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-2, 6]$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.
Найдем пересечение полученных решений: $D = [-2, 6] \cap ((-\infty, -2] \cup [5, \infty))$. Пересечение состоит из точки $x = -2$ и отрезка $[5, 6]$.
Ответ: $D(y) = \{-2\} \cup [5, 6]$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{-x+5}{x+1}} + \sqrt{\frac{x}{x-3}}$ задается системой неравенств, так как подкоренные выражения квадратных корней должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.
$\begin{cases}\frac{-x+5}{x+1} \ge 0 \\\frac{x}{x-3} \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $\frac{-x+5}{x+1} \ge 0 \implies \frac{x-5}{x+1} \le 0$. Методом интервалов находим, что решение: $x \in (-1, 5]$.
Решим второе неравенство: $\frac{x}{x-3} \ge 0$. Методом интервалов находим, что решение: $x \in (-\infty, 0] \cup (3, \infty)$.
Найдем пересечение решений: $D = (-1, 5] \cap ((-\infty, 0] \cup (3, \infty))$. Пересечением является объединение интервалов $(-1, 0]$ и $(3, 5]$.
Ответ: $D(y) = (-1, 0] \cup (3, 5]$.

г) Для функции $y = \sqrt{\frac{x+3}{-x+6}} + \sqrt[3]{\frac{x-4}{x+1}}$ необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, а знаменатели дробей не равнялись нулю. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного значения аргумента.
Получаем систему условий:
$\begin{cases}\frac{x+3}{-x+6} \ge 0 \\x+1 \ne 0\end{cases}$
Решим неравенство: $\frac{x+3}{-x+6} \ge 0 \implies \frac{x+3}{x-6} \le 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in [-3, 6)$.
Второе условие: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Объединяя условия, получаем область определения: $x \in [-3, 6)$ и $x \ne -1$.
Ответ: $D(y) = [-3, -1) \cup (-1, 6)$.

д) Для функции $y = \frac{\sqrt{(x^2+3x-10) \cdot |x+1|}}{\sqrt{-x^2-x+2}}$ необходимо, чтобы выражение под корнем в числителе было неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases}(x^2+3x-10) \cdot |x+1| \ge 0 \\-x^2-x+2 > 0\end{cases}$
Решим второе неравенство: $-x^2-x+2 > 0 \implies x^2+x-2 < 0$. Корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1=-2, x_2=1$. Решение неравенства: $x \in (-2, 1)$.
Решим первое неравенство: $(x^2+3x-10) \cdot |x+1| \ge 0$. Так как $|x+1| \ge 0$ всегда, неравенство сводится к двум случаям:
1) $x+1=0 \implies x=-1$. В этом случае неравенство $0 \ge 0$ верно, значит $x=-1$ является решением.
2) $|x+1|>0$, тогда $x^2+3x-10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+3x-10=0$: $x_1=-5, x_2=2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$.
Общее решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty) \cup \{-1\}$.
Найдем пересечение множеств $(-2, 1)$ и $((-\infty, -5] \cup [2, \infty) \cup \{-1\})$. Единственная общая точка — это $x=-1$.
Ответ: $D(y) = \{-1\}$.

е) Для функции $y = \frac{\sqrt{(x^2+x-6) \cdot |x+2|}}{\sqrt[5]{-x^2-x+12}}$ необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем в числителе было неотрицательным, а знаменатель не равнялся нулю. Корень пятой степени определен для любого числа, поэтому нужно лишь, чтобы его аргумент не был равен нулю.
Получаем систему условий:
$\begin{cases}(x^2+x-6) \cdot |x+2| \ge 0 \\-x^2-x+12 \ne 0\end{cases}$
Решим первое неравенство: $(x^2+x-6) \cdot |x+2| \ge 0$. Так как $|x+2| \ge 0$, неравенство выполняется, если $x^2+x-6 \ge 0$ или если $x+2=0$.
Решение $x+2=0$ дает $x=-2$.
Решаем $x^2+x-6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+x-6=0$: $x_1=-3, x_2=2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup [2, \infty)$.
Решим второе условие: $-x^2-x+12 \ne 0 \implies x^2+x-12 \ne 0$. Корни уравнения $x^2+x-12=0$: $x_1=-4, x_2=3$. Следовательно, $x \ne -4$ и $x \ne 3$.
Исключим эти точки из найденного множества: $x=-4$ исключается из $(-\infty, -3]$, а $x=3$ исключается из $[2, \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -4) \cup (-4, -3] \cup \{-2\} \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$.