Номер 3.89, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.89, страница 119.

3.89 Какие точки принадлежат всем графикам функций $y = \sqrt[n]{x}$ при:

а) чётных $n$;

б) нечётных $n$?

а) чётных n

Мы ищем точки с координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $y = \sqrt[n]{x}$ для всех чётных натуральных чисел $n \ge 2$. Если точка принадлежит всем таким графикам, то её координаты должны удовлетворять уравнению для любых двух различных чётных $n$. Возьмём для примера $n=2$ и $n=4$. Тогда для искомой точки $(x, y)$ должны одновременно выполняться равенства $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[4]{x}$.

Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение $\sqrt{x} = \sqrt[4]{x}$. Область определения для корней чётной степени — это $x \ge 0$. Чтобы решить данное уравнение, возведём обе его части в четвёртую степень: $(\sqrt{x})^4 = (\sqrt[4]{x})^4$, что приводит к уравнению $x^2 = x$.

Перенесём все члены в левую часть и вынесем общий множитель:
$x^2 - x = 0$
$x(x-1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Теперь необходимо проверить, действительно ли точки с этими абсциссами принадлежат графикам функции $y = \sqrt[n]{x}$ для всех чётных $n$.
1. При $x=0$, получаем $y = \sqrt[n]{0} = 0$ для любого чётного $n$. Следовательно, точка $(0, 0)$ принадлежит всем рассматриваемым графикам.
2. При $x=1$, получаем $y = \sqrt[n]{1} = 1$ для любого чётного $n$. Следовательно, точка $(1, 1)$ также принадлежит всем рассматриваемым графикам.

Поскольку другие точки не удовлетворяют условию даже для $n=2$ и $n=4$, других общих точек для всех чётных $n$ не существует.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) нечётных n

Мы ищем точки с координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $y = \sqrt[n]{x}$ для всех нечётных натуральных чисел $n \ge 3$. Как и в предыдущем пункте, если точка является общей для всех графиков, её координаты должны удовлетворять уравнению для любых двух нечётных $n$. Возьмём для примера $n=3$ и $n=5$. Тогда должны выполняться равенства $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[5]{x}$, из чего следует уравнение $\sqrt[3]{x} = \sqrt[5]{x}$.

В отличие от случая с чётными показателями, корень нечётной степени определён для любых действительных чисел $x$. Чтобы решить это уравнение, возведём обе части в 15-ю степень (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5): $(\sqrt[3]{x})^{15} = (\sqrt[5]{x})^{15}$, что даёт $x^5 = x^3$.

Перенесём все члены в левую часть и разложим на множители:
$x^5 - x^3 = 0$
$x^3(x^2 - 1) = 0$
$x^3(x-1)(x+1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$. Проверим, являются ли точки с этими абсциссами общими для всех графиков с нечётным $n$:
1. При $x=0$, получаем $y = \sqrt[n]{0} = 0$ для любого нечётного $n$. Значит, точка $(0, 0)$ является общей.
2. При $x=1$, получаем $y = \sqrt[n]{1} = 1$ для любого нечётного $n$. Значит, точка $(1, 1)$ является общей.
3. При $x=-1$, получаем $y = \sqrt[n]{-1} = -1$ для любого нечётного $n$, так как $(-1)^n = -1$ при нечётном $n$. Значит, точка $(-1, -1)$ является общей.

Других общих точек нет, так как мы нашли все возможные решения на примере $n=3$ и $n=5$.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.