Номер 3.82, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.7*. Функция y=корень n-ой степени из x (x больше или равен 0). § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.82, страница 117.

3.82 Сформулируйте свойства функции $y = \sqrt[n]{x} (x \geq 0)$. Какая кривая является графиком этой функции?

Свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ (при $x \ge 0$ и натуральном $n \ge 2$)

• Область определения: В условии задано, что $x \ge 0$. Таким образом, областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел: $D(y) = [0, +\infty)$.
• Область значений: Арифметический корень n-ой степени из неотрицательного числа является неотрицательным числом. При $x=0$, $y=0$. При увеличении $x$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел: $E(y) = [0, +\infty)$.
• Четность и нечетность: Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
• Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y=0$: $\sqrt[n]{x} = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$. Таким образом, график функции пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: Функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $\sqrt[n]{x} > 0$, что выполняется для всех $x > 0$. Таким образом, $y > 0$ на интервале $(0, +\infty)$.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0, +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\sqrt[n]{x_1} < \sqrt[n]{x_2}$.
• Основные точки: График функции всегда проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, поскольку $\sqrt[n]{0}=0$ и $\sqrt[n]{1}=1$ для любого натурального $n \ge 2$.
• Выпуклость: На интервале $(0, +\infty)$ функция является выпуклой вверх (вогнутой). Это означает, что ее график "изгибается" вниз.

Ответ: Свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ ($x \ge 0$) перечислены выше.

Какая кривая является графиком этой функции?

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \ge 0$. Эта функция является обратной к степенной функции $y = x^n$ при $x \ge 0$.

График степенной функции $y = x^n$ при $x \ge 0$ называется ветвью параболы n-ой степени. Он располагается в первой координатной четверти и проходит через точки $(0,0)$ и $(1,1)$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Следовательно, график функции $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \ge 0$ является кривой, симметричной ветви параболы $y=x^n$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Эта кривая также является ветвью параболы n-ой степени, но "лежащей на боку" и вытянутой вдоль положительного направления оси Ох. Например, при $n=2$ мы получаем верхнюю ветвь обычной параболы $x=y^2$.

Ответ: Графиком функции $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \ge 0$ является ветвь параболы n-ой степени.