Номер 3.81, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.81, страница 114.

3.81 Запишите множители в виде корней одной и той же степени и упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a}$;

б) $\sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b}$;

в) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{b}$;

г) $\sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[12]{y}$.

а) Чтобы привести множители $\sqrt[3]{a}$ и $\sqrt[5]{a}$ к корням одной и той же степени, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней, то есть чисел 3 и 5.
НОК(3, 5) = 15.
Теперь приведем каждый корень к общему показателю 15, используя свойство корня $\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}$:
Для первого множителя: $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^5} = \sqrt[15]{a^5}$.
Для второго множителя: $\sqrt[5]{a} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[15]{a^3}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем, используя правило $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[15]{a^5} \cdot \sqrt[15]{a^3} = \sqrt[15]{a^5 \cdot a^3} = \sqrt[15]{a^{5+3}} = \sqrt[15]{a^8}$.
Ответ: $\sqrt[15]{a^8}$.

б) Приведем множители $\sqrt[4]{b}$ и $\sqrt[3]{b}$ к корням одной степени. Найдем НОК показателей 4 и 3.
НОК(4, 3) = 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4 \cdot 3]{b^3} = \sqrt[12]{b^3}$.
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^4} = \sqrt[12]{b^4}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[12]{b^3} \cdot \sqrt[12]{b^4} = \sqrt[12]{b^3 \cdot b^4} = \sqrt[12]{b^{3+4}} = \sqrt[12]{b^7}$.
Ответ: $\sqrt[12]{b^7}$.

в) Приведем множители $\sqrt{a}$ и $\sqrt[6]{b}$ к корням одной степени. Показатель первого корня (квадратного) равен 2, второго - 6.
Найдем НОК(2, 6) = 6.
Второй множитель $\sqrt[6]{b}$ уже имеет нужный показатель. Приведем первый множитель к показателю 6:
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.
Перемножим корни:
$\sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3b}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^3b}$.

г) Приведем множители $\sqrt[9]{x}$ и $\sqrt[12]{y}$ к корням одной степени. Найдем НОК показателей 9 и 12.
Разложим числа на простые множители: $9 = 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$.
НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем каждый корень к показателю 36:
$\sqrt[9]{x} = \sqrt[9 \cdot 4]{x^4} = \sqrt[36]{x^4}$.
$\sqrt[12]{y} = \sqrt[12 \cdot 3]{y^3} = \sqrt[36]{y^3}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[36]{x^4} \cdot \sqrt[36]{y^3} = \sqrt[36]{x^4y^3}$.
Ответ: $\sqrt[36]{x^4y^3}$.