Страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (3.74–3.77):

3.74

а) $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}};$

б) $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}};$

В) $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}};$

Г) $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}.$

а)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}}$ воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[4]{\frac{m^3}{m}}$

Теперь упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\sqrt[4]{\frac{m^3}{m^1}} = \sqrt[4]{m^{3-1}} = \sqrt[4]{m^2}$

Далее, можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения. Представим корень в виде степени с дробным показателем $m^{\frac{2}{4}}$, сократим дробь: $m^{\frac{1}{2}}$. Это равносильно квадратному корню:

$\sqrt[4]{m^2} = \sqrt{m}$

Ответ: $\sqrt{m}$

б)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}$. Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}} = \sqrt[5]{\frac{x^2}{x^4}}$

Упростим дробь под знаком корня, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\sqrt[5]{x^{2-4}} = \sqrt[5]{x^{-2}}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, получаем:

$\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}}$. Объединим его под один знак корня, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$:

$\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}} = \sqrt[3]{\frac{a^5b}{a^2b^4}}$

Упростим подкоренное выражение, применяя правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[3]{\frac{a^5}{a^2} \cdot \frac{b^1}{b^4}} = \sqrt[3]{a^{5-2} \cdot b^{1-4}} = \sqrt[3]{a^3b^{-3}}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ и свойством $\sqrt[n]{x^n}=x$ для нечетной степени $n=3$:

$\sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^{-3}} = a \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

г)

Для упрощения дроби $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}$ применим свойство частного корней одинаковой степени:

$\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}} = \sqrt[4]{\frac{m^7n^5}{m^3n}}$

Упростим выражение под корнем, разделив степени с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{\frac{m^7}{m^3} \cdot \frac{n^5}{n^1}} = \sqrt[4]{m^{7-3} \cdot n^{5-1}} = \sqrt[4]{m^4n^4}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a^nb^n} = \sqrt[n]{(ab)^n}$:

$\sqrt[4]{m^4n^4} = \sqrt[4]{(mn)^4}$

Так как показатель корня $n=4$ является четным числом, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$. Следовательно, $\sqrt[4]{(mn)^4} = |mn|$. Однако, область определения исходного выражения требует, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными: $m^7n^5 \ge 0$ и $m^3n \ge 0$. Это возможно только когда $m$ и $n$ имеют одинаковые знаки (или равны нулю), то есть $mn \ge 0$. Поэтому $|mn| = mn$.

$\sqrt[4]{(mn)^4} = mn$

Ответ: $mn$

3.75 a) $(\sqrt[3]{x})^2;$

б) $(\sqrt[4]{m})^5;$

B) $(\sqrt[5]{ab^4})^2;$

г) $(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2.$

а) Чтобы возвести корень в степень, можно воспользоваться свойством $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Это свойство позволяет внести показатель степени под знак корня.

В данном случае имеем выражение $(\sqrt[3]{x})^2$.

Применяя указанное свойство, где $n=3$, $a=x$ и $m=2$, получаем:

$(\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как степень подкоренного выражения ($2$) меньше показателя корня ($3$).

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$.

Для выражения $(\sqrt[4]{m})^5$ имеем $n=4$, $a=m$ и $m=5$.

Внесем степень под знак корня:

$(\sqrt[4]{m})^5 = \sqrt[4]{m^5}$

Так как степень подкоренного выражения ($5$) больше показателя корня ($4$), мы можем вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим $m^5$ в виде произведения $m^4 \cdot m$.

$\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m} = \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{m}$

Поскольку $\sqrt[4]{m^4} = m$ (при условии $m \ge 0$), получаем:

$m\sqrt[4]{m}$

Ответ: $m\sqrt[4]{m}$

в) Для выражения $(\sqrt[5]{ab^4})^2$ применим свойство $(\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}$, где $A = ab^4$.

Вносим степень $2$ под знак корня:

$(\sqrt[5]{ab^4})^2 = \sqrt[5]{(ab^4)^2}$

Теперь возведем в квадрат выражение под корнем, используя свойство $(xyz)^k = x^k y^k z^k$ и $(x^p)^q = x^{pq}$:

$(ab^4)^2 = a^2 \cdot (b^4)^2 = a^2b^{4 \cdot 2} = a^2b^8$

Получаем выражение $\sqrt[5]{a^2b^8}$.

Степень множителя $b$ ($8$) больше показателя корня ($5$), поэтому можно вынести часть этого множителя из-под знака корня. Представим $b^8$ как $b^5 \cdot b^3$.

$\sqrt[5]{a^2b^8} = \sqrt[5]{a^2 \cdot b^5 \cdot b^3} = \sqrt[5]{b^5 \cdot a^2b^3} = \sqrt[5]{b^5} \cdot \sqrt[5]{a^2b^3}$

Так как $\sqrt[5]{b^5} = b$, окончательный результат:

$b\sqrt[5]{a^2b^3}$

Ответ: $b\sqrt[5]{a^2b^3}$

г) Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2$. Сначала внесем степень $2$ под знак корня по свойству $(\sqrt[n]{A})^m = \sqrt[n]{A^m}$.

$(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2 = \sqrt[3]{(4x^3y^2)^2}$

Далее возведем в квадрат подкоренное выражение:

$(4x^3y^2)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 = 16x^{3 \cdot 2}y^{2 \cdot 2} = 16x^6y^4$

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{16x^6y^4}$.

Теперь упростим его, вынеся множители из-под знака корня. Показатель корня равен $3$. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы их степени были кратны $3$.

$16 = 8 \cdot 2 = 2^3 \cdot 2$

$x^6 = (x^2)^3$

$y^4 = y^3 \cdot y$

Подставим эти разложения в корень:

$\sqrt[3]{16x^6y^4} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 2) \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3 \cdot y)}$

Сгруппируем множители, степени которых кратны трем:

$\sqrt[3]{(2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3) \cdot (2 \cdot y)} = \sqrt[3]{(2x^2y)^3 \cdot 2y}$

Выносим множитель $(2x^2y)^3$ из-под знака кубического корня:

$\sqrt[3]{(2x^2y)^3} \cdot \sqrt[3]{2y} = 2x^2y\sqrt[3]{2y}$

Ответ: $2x^2y\sqrt[3]{2y}$

3.76 а) $\sqrt[4]{a^2}$;

б) $\sqrt[6]{a^3}$;

В) $\sqrt[4]{a^2b^2}$;

г) $\sqrt[6]{a^4b^2}$.

a) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{a^2}$, воспользуемся свойством корня, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Это свойство можно представить в виде формулы с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Запишем исходное выражение с помощью дробного показателя:
$\sqrt[4]{a^2} = (a^2)^{1/4}$
Применяя свойство степеней $(x^p)^q = x^{pq}$, получаем:
$(a^2)^{1/4} = a^{2/4} = a^{1/2}$
Однако, это преобразование верно только для $a \ge 0$. Чтобы учесть все возможные значения $a$ (включая отрицательные), необходимо использовать модуль, так как $a^2 = |a|^2$. Исходное выражение $\sqrt[4]{a^2}$ определено для любого действительного $a$, и его значение всегда неотрицательно.
$\sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{|a|^2}$
Поскольку $|a| \ge 0$, мы можем сократить показатель корня (4) и показатель степени (2) на их общий делитель 2:
$\sqrt[4]{|a|^2} = \sqrt[4/2]{|a|^{2/2}} = \sqrt[2]{|a|^1} = \sqrt{|a|}$
Ответ: $\sqrt{|a|}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^3}$.
Это выражение определено, только если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $a^3 \ge 0$, что равносильно $a \ge 0$.
Поскольку $a \ge 0$, мы можем упростить выражение, разделив показатель корня (6) и показатель степени подкоренного выражения (3) на их наибольший общий делитель, равный 3.
$\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6/3]{a^{3/3}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$
Также можно использовать представление в виде степени с дробным показателем:
$\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

в) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^2b^2}$.
Сначала преобразуем подкоренное выражение, используя свойство степеней: $x^n y^n = (xy)^n$.
$\sqrt[4]{a^2b^2} = \sqrt[4]{(ab)^2}$
Это выражение аналогично случаю а). Оно определено для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как $(ab)^2$ всегда неотрицательно. Чтобы упрощение было верным для всех значений, используем модуль.
$\sqrt[4]{(ab)^2} = \sqrt[4]{|ab|^2}$
Теперь сокращаем показатель корня (4) и показатель степени (2) на 2:
$\sqrt[4]{|ab|^2} = \sqrt[2]{|ab|} = \sqrt{|ab|}$
Ответ: $\sqrt{|ab|}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^4b^2}$.
Подкоренное выражение $a^4b^2 = (a^2b)^2$ всегда неотрицательно, поэтому выражение определено для любых действительных $a$ и $b$.
$\sqrt[6]{a^4b^2} = \sqrt[6]{(a^2b)^2}$
Показатель корня равен 6, а показатель степени подкоренного выражения равен 2. Их общий делитель равен 2. При сокращении, так как исходный показатель корня (6) — четное число, необходимо использовать модуль.
$\sqrt[6]{(a^2b)^2} = \sqrt[6/2]{|a^2b|^{2/2}} = \sqrt[3]{|a^2b|}$
Теперь упростим выражение под модулем: $|a^2b|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
$|a^2b| = |a^2| \cdot |b| = a^2|b|$
Подставляя это в наше выражение, получаем окончательный результат.
$\sqrt[3]{a^2|b|}$
Ответ: $\sqrt[3]{a^2|b|}$

3.77 а) $\sqrt[6]{27};$

б) $\sqrt[6]{16};$

в) $\sqrt[9]{64};$

г) $\sqrt[12]{81}.$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[6]{27}$, необходимо представить подкоренное число в виде степени, основание которой является простым числом. Мы знаем, что $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3}$

Далее воспользуемся свойством корня $\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{a}$, которое эквивалентно представлению корня в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

В нашем случае: $\sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6}$.

Сократим дробь в показателе степени: $3/6 = 1/2$.

Таким образом, выражение упрощается до: $3^{1/2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{16}$. Сначала представим число 16 в виде степени. Мы знаем, что $16 = 2^4$.

Подставим это в выражение:

$\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4}$

Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем:

$\sqrt[6]{2^4} = 2^{4/6}$

Сократим дробь в показателе степени: $4/6 = 2/3$.

Получаем: $2^{2/3}$.

Запишем это выражение обратно в виде корня: $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

в) Упростим выражение $\sqrt[9]{64}$. Представим число 64 в виде степени. Наиболее удобное представление — это степень с основанием 2: $64 = 2^6$.

Подставим это значение в выражение:

$\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^6}$

Перейдем к представлению в виде степени с дробным показателем:

$\sqrt[9]{2^6} = 2^{6/9}$

Сократим дробь в показателе: $6/9 = 2/3$.

Следовательно, выражение равно: $2^{2/3}$.

Вернемся к записи в виде корня: $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[12]{81}$. Представим число 81 в виде степени. Мы знаем, что $81 = 3^4$.

Запишем выражение с этим значением:

$\sqrt[12]{81} = \sqrt[12]{3^4}$

Используем представление в виде степени с дробным показателем:

$\sqrt[12]{3^4} = 3^{4/12}$

Сократим дробь в показателе: $4/12 = 1/3$.

Получаем: $3^{1/3}$.

Запишем результат в виде корня: $3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$.

3.78 Запишите $\sqrt{a} (a \geq 0)$ как корень:

а) четвёртой степени;

б) шестой степени;

в) десятой степени;

г) шестнадцатой степени;

д) двенадцатой степени;

е) восьмой степени;

ж) двадцать четвёртой степени;

з) тридцатой степени.

Для того чтобы представить выражение $\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$) в виде корня другой степени, мы используем основное свойство арифметического корня. Квадратный корень $\sqrt{a}$ является корнем второй степени из $a$ в первой степени, то есть $\sqrt[2]{a^1}$.

Основное свойство корня заключается в том, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число, значение корня не изменится. Математически это записывается как $\sqrt[n]{b^k} = \sqrt[n \cdot p]{b^{k \cdot p}}$ (где $b \ge 0$, $n, k, p$ — натуральные числа).

Чтобы привести корень $\sqrt[2]{a^1}$ к корню степени $m$, необходимо найти такое натуральное число $p$, что $2 \cdot p = m$. Отсюда $p = m/2$. Затем мы умножаем показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) на это число $p$. В результате получаем: $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot p]{a^{1 \cdot p}} = \sqrt[m]{a^p} = \sqrt[m]{a^{m/2}}$.

а) четвёртой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень четвёртой степени, то есть $m=4$. Находим дополнительный множитель $p = 4/2 = 2$. Умножаем показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) на 2:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$

б) шестой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень шестой степени, то есть $m=6$. Находим дополнительный множитель $p = 6/2 = 3$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 3:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$

в) десятой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень десятой степени, то есть $m=10$. Находим дополнительный множитель $p = 10/2 = 5$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 5:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 5]{a^{1 \cdot 5}} = \sqrt[10]{a^5}$

Ответ: $\sqrt[10]{a^5}$

г) шестнадцатой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень шестнадцатой степени, то есть $m=16$. Находим дополнительный множитель $p = 16/2 = 8$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 8:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 8]{a^{1 \cdot 8}} = \sqrt[16]{a^8}$

Ответ: $\sqrt[16]{a^8}$

д) двенадцатой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень двенадцатой степени, то есть $m=12$. Находим дополнительный множитель $p = 12/2 = 6$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 6:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 6]{a^{1 \cdot 6}} = \sqrt[12]{a^6}$

Ответ: $\sqrt[12]{a^6}$

е) восьмой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень восьмой степени, то есть $m=8$. Находим дополнительный множитель $p = 8/2 = 4$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 4:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt[8]{a^4}$

Ответ: $\sqrt[8]{a^4}$

ж) двадцать четвёртой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень двадцать четвёртой степени, то есть $m=24$. Находим дополнительный множитель $p = 24/2 = 12$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 12:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 12]{a^{1 \cdot 12}} = \sqrt[24]{a^{12}}$

Ответ: $\sqrt[24]{a^{12}}$

з) тридцатой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень тридцатой степени, то есть $m=30$. Находим дополнительный множитель $p = 30/2 = 15$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 15:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 15]{a^{1 \cdot 15}} = \sqrt[30]{a^{15}}$

Ответ: $\sqrt[30]{a^{15}}$

3.79* Упростите числовое выражение:

а) $ \sqrt{2\sqrt{3}}; $

б) $ \sqrt[3]{3\sqrt{2}}; $

в) $ \sqrt{2\sqrt[3]{3}}; $

г) $ \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}; $

д) $ \sqrt{2\sqrt[3]{2}:\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}; $

е) $ \sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}\cdot\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}. $

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2\sqrt{3}}$, внесем множитель 2 под внутренний знак корня. Поскольку внешний корень является квадратным (степень 2), множитель 2 вносится под внутренний корень, будучи возведенным в квадрат:$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$.Затем, используя свойство вложенных корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, объединим корни:$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$.Ответ: $\sqrt[4]{12}$.

б) В выражении $\sqrt[3]{3\sqrt{2}}$ внесем множитель 3 под внутренний квадратный корень, возведя его в квадрат:$\sqrt[3]{3\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{3^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{9 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{18}}$.Далее объединим кубический и квадратный корни:$\sqrt[3]{\sqrt{18}} = \sqrt[3 \cdot 2]{18} = \sqrt[6]{18}$.Ответ: $\sqrt[6]{18}$.

в) В выражении $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний кубический корень, возведя его в куб:$\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{24}}$.Объединим квадратный и кубический корни:$\sqrt{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[2 \cdot 3]{24} = \sqrt[6]{24}$.Ответ: $\sqrt[6]{24}$.

г) Упростим выражение $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}$, начиная с самого внутреннего корня.Сначала вычислим $\sqrt{4} = 2$. Выражение примет вид: $\sqrt{2\sqrt[4]{4 \cdot 2}} = \sqrt{2\sqrt[4]{8}}$.Теперь внесем множитель 2 под корень четвертой степени, возведя его в четвертую степень:$\sqrt{2\sqrt[4]{8}} = \sqrt{\sqrt[4]{2^4 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{16 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{128}}$.Объединим корни: $\sqrt[2 \cdot 4]{128} = \sqrt[8]{128}$.Так как $128 = 2^7$, окончательный ответ: $\sqrt[8]{2^7}$.Ответ: $\sqrt[8]{2^7}$.

д) Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt[3]{2}} : \sqrt[3]{2\sqrt{2}}$. Упростим делимое и делитель по отдельности.Делимое: $\sqrt{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{16}$.Делитель: $\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{8}} = \sqrt[6]{8}$.Теперь выполним деление: $\frac{\sqrt[6]{16}}{\sqrt[6]{8}} = \sqrt[6]{\frac{16}{8}} = \sqrt[6]{2}$.Ответ: $\sqrt[6]{2}$.

е) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$ перейдем к степеням с рациональными показателями и представим числа как степени двойки ($32=2^5, 4=2^2$).Первый множитель: $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{4}} = (2^5 \cdot (2^2)^{1/4})^{1/3} = (2^5 \cdot 2^{2/4})^{1/3} = (2^5 \cdot 2^{1/2})^{1/3} = (2^{5 + 1/2})^{1/3} = (2^{11/2})^{1/3} = 2^{11/6}$.Второй множитель: $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}} = (2 \cdot (2^2 \cdot (2^2)^{1/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^2 \cdot 2^{2/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^{2+2/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^{8/3})^{1/4})^{1/2} = (2^1 \cdot 2^{8/12})^{1/2} = (2^1 \cdot 2^{2/3})^{1/2} = (2^{1+2/3})^{1/2} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{5/6}$.Перемножим полученные степени: $2^{11/6} \cdot 2^{5/6} = 2^{11/6 + 5/6} = 2^{16/6} = 2^{8/3}$.Представим результат в виде корня: $2^{8/3} = 2^{2+2/3} = 2^2 \cdot 2^{2/3} = 4\sqrt[3]{2^2} = 4\sqrt[3]{4}$.Ответ: $4\sqrt[3]{4}$.

3.80 Запишите в виде корней одной и той же степени три числа:

а) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$;

б) $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$.

а)

Чтобы записать числа $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$ в виде корней одной и той же степени, необходимо привести их к общему показателю корня. Показатели корней у данных чисел — 3, 2 (у квадратного корня) и 6.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для этих показателей:

НОК(3, 2, 6) = 6.

Следовательно, нужно привести все три корня к 6-й степени. Для этого используем основное свойство корня: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$, где показатель корня и степень подкоренного выражения умножаются на одно и то же натуральное число $k$.

1. Для числа $\sqrt[3]{3}$:
Чтобы получить показатель 6 из 3, нужно домножить его на 2 ($k=2$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 2.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.

2. Для числа $\sqrt{2}$:
Показатель квадратного корня равен 2. Чтобы получить показатель 6, нужно домножить его на 3 ($k=3$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 3.
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.

3. Для числа $\sqrt[6]{5}$:
Это число уже имеет показатель корня 6, поэтому его изменять не нужно.

Ответ: $\sqrt[6]{9}$, $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[6]{5}$.

б)

Даны три числа: $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$. Показатели корней у данных чисел — 2, 4 и 8.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для этих показателей:

НОК(2, 4, 8) = 8.

Приведем каждый корень к показателю 8.

1. Для числа $\sqrt{5}$:
Показатель корня равен 2. Чтобы получить показатель 8, нужно домножить его на 4 ($k=4$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 4.
$\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[8]{625}$.

2. Для числа $\sqrt[4]{15}$:
Чтобы получить показатель 8 из 4, нужно домножить его на 2 ($k=2$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 2.
$\sqrt[4]{15} = \sqrt[4 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[8]{225}$.

3. Для числа $\sqrt[8]{50}$:
Это число уже имеет показатель корня 8, поэтому оно остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[8]{625}$, $\sqrt[8]{225}$, $\sqrt[8]{50}$.

3.81 Запишите множители в виде корней одной и той же степени и упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a}$;

б) $\sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b}$;

в) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{b}$;

г) $\sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[12]{y}$.

а) Чтобы привести множители $\sqrt[3]{a}$ и $\sqrt[5]{a}$ к корням одной и той же степени, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней, то есть чисел 3 и 5.
НОК(3, 5) = 15.
Теперь приведем каждый корень к общему показателю 15, используя свойство корня $\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}$:
Для первого множителя: $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^5} = \sqrt[15]{a^5}$.
Для второго множителя: $\sqrt[5]{a} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[15]{a^3}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем, используя правило $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[15]{a^5} \cdot \sqrt[15]{a^3} = \sqrt[15]{a^5 \cdot a^3} = \sqrt[15]{a^{5+3}} = \sqrt[15]{a^8}$.
Ответ: $\sqrt[15]{a^8}$.

б) Приведем множители $\sqrt[4]{b}$ и $\sqrt[3]{b}$ к корням одной степени. Найдем НОК показателей 4 и 3.
НОК(4, 3) = 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4 \cdot 3]{b^3} = \sqrt[12]{b^3}$.
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^4} = \sqrt[12]{b^4}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[12]{b^3} \cdot \sqrt[12]{b^4} = \sqrt[12]{b^3 \cdot b^4} = \sqrt[12]{b^{3+4}} = \sqrt[12]{b^7}$.
Ответ: $\sqrt[12]{b^7}$.

в) Приведем множители $\sqrt{a}$ и $\sqrt[6]{b}$ к корням одной степени. Показатель первого корня (квадратного) равен 2, второго - 6.
Найдем НОК(2, 6) = 6.
Второй множитель $\sqrt[6]{b}$ уже имеет нужный показатель. Приведем первый множитель к показателю 6:
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.
Перемножим корни:
$\sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3b}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^3b}$.

г) Приведем множители $\sqrt[9]{x}$ и $\sqrt[12]{y}$ к корням одной степени. Найдем НОК показателей 9 и 12.
Разложим числа на простые множители: $9 = 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$.
НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приведем каждый корень к показателю 36:
$\sqrt[9]{x} = \sqrt[9 \cdot 4]{x^4} = \sqrt[36]{x^4}$.
$\sqrt[12]{y} = \sqrt[12 \cdot 3]{y^3} = \sqrt[36]{y^3}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[36]{x^4} \cdot \sqrt[36]{y^3} = \sqrt[36]{x^4y^3}$.
Ответ: $\sqrt[36]{x^4y^3}$.