Страница 118 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.87° Какова область определения функции $y = \sqrt[n]{x}$ для:

а) чётных n;

б) нечётных n?

Областью определения функции называется множество всех значений аргумента $x$, при которых функция $y = f(x)$ определена (имеет смысл).

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[n]{x}$.

а) чётных n

Если показатель корня $n$ является чётным натуральным числом (например, $n = 2, 4, 6, \dots$), то по определению арифметического корня чётной степени, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Это связано с тем, что любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате неотрицательное число. Например, $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$. Не существует действительного числа, которое в чётной степени дало бы отрицательный результат.

Следовательно, для того чтобы выражение $\sqrt[n]{x}$ имело смысл при чётном $n$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

$x \ge 0$

Таким образом, областью определения функции $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$ является множество всех неотрицательных чисел.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) нечётных n

Если показатель корня $n$ является нечётным натуральным числом (например, $n = 3, 5, 7, \dots$), то корень нечётной степени определён для любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного, и для нуля.

Это объясняется тем, что при возведении в нечётную степень знак числа сохраняется. Например, $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$, и $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$.

Следовательно, подкоренное выражение $x$ может быть любым действительным числом.

Таким образом, областью определения функции $y = \sqrt[n]{x}$ при нечётном $n$ является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (или вся числовая прямая $\mathbb{R}$).

3.88° Для каких n (чётных или нечётных) функция $y = \sqrt[n]{x}$ является нечётной?

Для того чтобы определить, при каких значениях $n$ функция $y = \sqrt[n]{x}$ является нечётной, необходимо вспомнить определение нечётной функции.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим два случая для показателя корня $n$.

1. Пусть $n$ — чётное натуральное число ($n = 2, 4, 6, \dots$).

В этом случае функция $y = \sqrt[n]{x}$ определена только для неотрицательных значений аргумента, так как извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя. Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет. Поскольку первое условие из определения нечётной функции не выполняется, функция $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$ не является нечётной.

2. Пусть $n$ — нечётное натуральное число ($n = 3, 5, 7, \dots$).

В этом случае корень нечётной степени можно извлекать из любого действительного числа. Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, то есть все действительные числа.

Эта область определения симметрична относительно нуля, так что первое условие выполняется.

Проверим выполнение второго условия: $f(-x) = -f(x)$.

Для функции $f(x) = \sqrt[n]{x}$ имеем:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x}$

По свойству корней нечётной степени, $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ для любого действительного $a$. Следовательно, $f(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$.

А так как $-f(x) = -\sqrt[n]{x}$, то мы получаем, что $f(-x) = -f(x)$. Второе условие также выполняется.

Таким образом, функция $y = \sqrt[n]{x}$ является нечётной при нечётных значениях $n$.

Ответ: для нечётных $n$.