Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.105 Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:

а) $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[4]{20}$;

г) $\sqrt[4]{300}$.

а) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{3}$, нужно найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{3} < n+1$. Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < 3 < (n+1)^3$.
Проверим натуральные числа по порядку.
При $n=1$: $1^3 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, его куб равен $2^3 = 8$.
Поскольку $1 < 3 < 8$, то справедливо и неравенство $1^3 < 3 < 2^3$.
Извлекая кубический корень из всех частей, получаем $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[3]{3}$ заключено между числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Аналогично предыдущему пункту, ищем натуральное число $n$, такое что $n < \sqrt[3]{4} < n+1$. Возводим в куб: $n^3 < 4 < (n+1)^3$.
При $n=1$: $1^3 = 1$.
При $n+1=2$: $2^3 = 8$.
Так как $1 < 4 < 8$, то $1^3 < 4 < 2^3$.
Извлекая кубический корень, получаем $1 < \sqrt[3]{4} < 2$.
Число $\sqrt[3]{4}$ заключено между числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

в) Ищем натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{20} < n+1$. Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < 20 < (n+1)^4$.
Проверим натуральные числа:
При $n=1$: $1^4 = 1$.
При $n=2$: $2^4 = 16$.
При $n=3$: $3^4 = 81$.
Мы видим, что $16 < 20 < 81$, то есть $2^4 < 20 < 3^4$.
Извлекая корень четвертой степени, получаем $2 < \sqrt[4]{20} < 3$.
Число $\sqrt[4]{20}$ заключено между числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

г) Ищем натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{300} < n+1$. Возводим в четвертую степень: $n^4 < 300 < (n+1)^4$.
Проверим степени натуральных чисел:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$
$5^4 = 625$
Из этих вычислений видно, что $256 < 300 < 625$, то есть $4^4 < 300 < 5^4$.
Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем $4 < \sqrt[4]{300} < 5$.
Число $\sqrt[4]{300}$ заключено между числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

3.106 Вычислите с точностью до 1:

а) $\sqrt[3]{175};$

б) $\sqrt[3]{241};$

в) $\sqrt[4]{105};$

г) $\sqrt[4]{273}.$

Чтобы вычислить значение корня с точностью до 1, необходимо найти ближайшее к нему целое число. Для этого мы определим, между какими двумя последовательными целыми числами находится значение корня, а затем выясним, к какому из них оно ближе.

а) $\sqrt[3]{175}$

Найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 175.
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$

Поскольку $125 < 175 < 216$, мы знаем, что $5 < \sqrt[3]{175} < 6$.

Теперь определим, к какому из концов интервала (5 или 6) ближе наше значение. Сравним расстояние от 175 до 125 и до 216:
$175 - 125 = 50$
$216 - 175 = 41$

Так как 175 ближе к 216, чем к 125 ($41 < 50$), то $\sqrt[3]{175}$ ближе к 6, чем к 5.

Ответ: 6

б) $\sqrt[3]{241}$

Найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 241.
$6^3 = 216$
$7^3 = 343$

Поскольку $216 < 241 < 343$, мы знаем, что $6 < \sqrt[3]{241} < 7$.

Сравним расстояние от 241 до 216 и до 343:
$241 - 216 = 25$
$343 - 241 = 102$

Так как 241 намного ближе к 216, чем к 343 ($25 < 102$), то $\sqrt[3]{241}$ ближе к 6, чем к 7.

Ответ: 6

в) $\sqrt[4]{105}$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 105.
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$

Поскольку $81 < 105 < 256$, мы знаем, что $3 < \sqrt[4]{105} < 4$.

Сравним расстояние от 105 до 81 и до 256:
$105 - 81 = 24$
$256 - 105 = 151$

Так как 105 ближе к 81, чем к 256 ($24 < 151$), то $\sqrt[4]{105}$ ближе к 3, чем к 4.

Ответ: 3

г) $\sqrt[4]{273}$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 273.
$4^4 = 256$
$5^4 = 625$

Поскольку $256 < 273 < 625$, мы знаем, что $4 < \sqrt[4]{273} < 5$.

Сравним расстояние от 273 до 256 и до 625:
$273 - 256 = 17$
$625 - 273 = 352$

Так как 273 ближе к 256, чем к 625 ($17 < 352$), то $\sqrt[4]{273}$ ближе к 4, чем к 5.

Ответ: 4

3.107 Проверьте справедливость неравенств:

а) $3 < \sqrt[3]{30} < 4;$

б) $7 < \sqrt[3]{350} < 8;$

в) $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2;$

г) $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6.$

а) Чтобы проверить справедливость двойного неравенства $3 < \sqrt[3]{30} < 4$, возведем все его части в куб. Так как функция $y=x^3$ является возрастающей для всех действительных чисел, знаки неравенства сохранятся.

Получаем неравенство: $3^3 < (\sqrt[3]{30})^3 < 4^3$.

Вычислим значения в каждой части: $3^3 = 27$; $(\sqrt[3]{30})^3 = 30$; $4^3 = 64$.

Подставим вычисленные значения обратно в неравенство: $27 < 30 < 64$.

Это неравенство является верным, поскольку $27 < 30$ и $30 < 64$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

б) Для проверки неравенства $7 < \sqrt[3]{350} < 8$ также возведем все его части в третью степень.

Получаем: $7^3 < (\sqrt[3]{350})^3 < 8^3$.

Вычислим значения: $7^3 = 343$; $(\sqrt[3]{350})^3 = 350$; $8^3 = 512$.

Подставим результаты: $343 < 350 < 512$.

Неравенство верное, так как $343 < 350$ и $350 < 512$. Значит, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

в) Проверим справедливость неравенства $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2$. Возведем все части в куб.

Получаем: $(5,1)^3 < (\sqrt[3]{135})^3 < (5,2)^3$.

Вычислим значения: $(5,1)^3 = 132,651$; $(\sqrt[3]{135})^3 = 135$; $(5,2)^3 = 140,608$.

Подставим вычисленные значения: $132,651 < 135 < 140,608$.

Данное неравенство является верным, поскольку $132,651 < 135$ и $135 < 140,608$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

г) Проверим неравенство $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6$. Возведем все части неравенства в третью степень.

Получаем: $(3,5)^3 < (\sqrt[3]{45})^3 < (3,6)^3$.

Вычислим значения: $(3,5)^3 = 42,875$; $(\sqrt[3]{45})^3 = 45$; $(3,6)^3 = 46,656$.

Подставим результаты: $42,875 < 45 < 46,656$.

Неравенство верное, так как $42,875 < 45$ и $45 < 46,656$. Значит, исходное неравенство справедливо.

Ответ: неравенство справедливо.

3.108 Какое число является лучшим приближением $\sqrt[3]{96}$:

a) 4 или 5;

б) 4,5 или 4,6?

a) Чтобы определить, какое из чисел, 4 или 5, является лучшим приближением для $\sqrt[3]{96}$, нужно сравнить, куб какого из этих чисел ближе к 96. Для этого мы найдем абсолютное значение разности между 96 и кубом каждого из предложенных чисел. Чем меньше эта разность, тем точнее приближение.
Вычислим кубы чисел 4 и 5:
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
Теперь найдем модуль разности для каждого числа:
$|96 - 4^3| = |96 - 64| = 32$
$|96 - 5^3| = |96 - 125| = |-29| = 29$
Сравнивая полученные значения, видим, что $29 < 32$. Это означает, что $5^3$ находится ближе к 96, чем $4^3$. Следовательно, 5 является лучшим приближением для $\sqrt[3]{96}$.
Ответ: 5

б) Аналогично поступим для чисел 4,5 и 4,6. Сравним, куб какого из этих чисел ближе к 96.
Вычислим кубы чисел 4,5 и 4,6:
$(4,5)^3 = 4,5 \times 4,5 \times 4,5 = 91,125$
$(4,6)^3 = 4,6 \times 4,6 \times 4,6 = 97,336$
Теперь найдем модуль разности для каждого числа:
$|96 - (4,5)^3| = |96 - 91,125| = 4,875$
$|96 - (4,6)^3| = |96 - 97,336| = |-1,336| = 1,336$
Сравнивая полученные значения, видим, что $1,336 < 4,875$. Это означает, что $(4,6)^3$ находится ближе к 96, чем $(4,5)^3$. Следовательно, 4,6 является лучшим приближением для $\sqrt[3]{96}$.
Ответ: 4,6

3.109 Найдите приближённое значение кубического корня с точностью до первого знака после запятой (с недостатком) из числа:

а) 3;

б) 6;

в) 8;

г) 10.

а) Чтобы найти приближённое значение кубического корня из 3 с точностью до первого знака после запятой с недостатком, нам нужно найти такое число $x$ с одной цифрой после запятой, для которого выполняется неравенство $x^3 \le 3 < (x+0,1)^3$.

Сначала определим целую часть корня.
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 3 < 8$, то целая часть искомого числа равна 1.

Теперь будем последовательно подбирать десятые доли, возводя их в куб.
$1,1^3 = 1,331$
$1,2^3 = 1,728$
$1,3^3 = 2,197$
$1,4^3 = 2,744$
$1,5^3 = 3,375$

Мы видим, что $1,4^3 = 2,744 \le 3$ и $1,5^3 = 3,375 > 3$. Следовательно, приближённое значение $\sqrt[3]{3}$ с недостатком до десятых равно 1,4.
Ответ: 1,4.

б) Найдём приближённое значение $\sqrt[3]{6}$ с точностью до 0,1 с недостатком.

Определим целую часть.
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 6 < 8$, целая часть корня равна 1.

Подбираем десятые доли.
$1,7^3 = 4,913$
$1,8^3 = 5,832$
$1,9^3 = 6,859$

Мы получили, что $1,8^3 = 5,832 \le 6$ и $1,9^3 = 6,859 > 6$. Значит, приближённое значение $\sqrt[3]{6}$ с недостатком до десятых равно 1,8.
Ответ: 1,8.

в) Найдём приближённое значение $\sqrt[3]{8}$ с точностью до 0,1 с недостатком.

Известно, что $2^3 = 8$. Следовательно, кубический корень из 8 является целым числом 2.
При записи с точностью до первого знака после запятой это число будет 2,0.
Ответ: 2,0.

г) Найдём приближённое значение $\sqrt[3]{10}$ с точностью до 0,1 с недостатком.

Определим целую часть.
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Так как $8 < 10 < 27$, целая часть корня равна 2.

Подбираем десятые доли.
$2,1^3 = 2,1 \times 2,1 \times 2,1 = 4,41 \times 2,1 = 9,261$
$2,2^3 = 2,2 \times 2,2 \times 2,2 = 4,84 \times 2,2 = 10,648$

Мы получили, что $2,1^3 = 9,261 \le 10$ и $2,2^3 = 10,648 > 10$. Значит, приближённое значение $\sqrt[3]{10}$ с недостатком до десятых равно 2,1.
Ответ: 2,1.

3.110 Вычислите с точностью до третьего знака после запятой:

а) $ \sqrt[3]{3} $;

б) $ \sqrt[3]{5} $;

в) $ \sqrt[3]{7} $.

а) Для того чтобы вычислить $\sqrt[3]{3}$ с точностью до третьего знака после запятой, будем последовательно находить приближенное значение $x$, такое что $x^3$ будет максимально близко к 3. Мы будем использовать метод пошагового уточнения.

1. Найдем целую часть числа. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то очевидно, что $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Целая часть искомого числа равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой (десятые доли). Будем проверять числа, возводя их в куб:
$1.4^3 = 2.744$ (это меньше 3)
$1.5^3 = 3.375$ (это больше 3)
Отсюда следует, что $1.4 < \sqrt[3]{3} < 1.5$. Таким образом, первая цифра после запятой - 4.

3. Найдем вторую цифру после запятой (сотые доли):
$1.44^3 = 1.44 \times 1.44 \times 1.44 = 2.0736 \times 1.44 = 2.985984$ (меньше 3)
$1.45^3 = 1.45 \times 1.45 \times 1.45 = 2.1025 \times 1.45 = 3.048625$ (больше 3)
Следовательно, $1.44 < \sqrt[3]{3} < 1.45$. Вторая цифра после запятой - 4.

4. Найдем третью цифру после запятой (тысячные доли):
$1.442^3 \approx 2.998437$ (меньше 3)
$1.443^3 \approx 3.004565$ (больше 3)
Следовательно, $1.442 < \sqrt[3]{3} < 1.443$. Третья цифра после запятой - 2.

5. Для корректного округления до третьего знака нам необходимо определить четвертую цифру.
$1.4422^3 \approx 2.99986$ (меньше 3)
$1.4423^3 \approx 3.00047$ (больше 3)
Значит, $1.4422 < \sqrt[3]{3} < 1.4423$. Четвертая цифра после запятой равна 2. По правилам округления, если следующая цифра меньше 5, то предыдущая не изменяется. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону.

Ответ: $\sqrt[3]{3} \approx 1.442$.

б) Вычислим $\sqrt[3]{5}$ с точностью до третьего знака после запятой, используя тот же метод.

1. Целая часть: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Значит, $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Десятые доли:
$1.7^3 = 4.913$ (меньше 5)
$1.8^3 = 5.832$ (больше 5)
Следовательно, $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$. Первая цифра после запятой - 7.

3. Сотые доли:
$1.70^3 = 4.913$ (меньше 5)
$1.71^3 = 1.71 \times 1.71 \times 1.71 = 5.000211$ (больше 5)
Следовательно, $1.70 < \sqrt[3]{5} < 1.71$. Вторая цифра после запятой - 0.

4. Тысячные доли:
$1.709^3 \approx 4.99143$ (меньше 5)
$1.710^3 \approx 5.00021$ (больше 5)
Следовательно, $1.709 < \sqrt[3]{5} < 1.710$. Третья цифра после запятой - 9.

5. Округление: Определим четвертую цифру.
$1.7099^3 \approx 4.9993$ (меньше 5)
$1.7100^3 \approx 5.0002$ (больше 5)
Значит, $1.7099 < \sqrt[3]{5} < 1.7100$. Четвертая цифра равна 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону. Это означает, что мы должны увеличить третью цифру (9) на единицу. $1.709 + 0.001 = 1.710$.

Ответ: $\sqrt[3]{5} \approx 1.710$.

в) Вычислим $\sqrt[3]{7}$ с точностью до третьего знака после запятой.

1. Целая часть: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Значит, $1 < \sqrt[3]{7} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Десятые доли:
$1.9^3 = 6.859$ (меньше 7)
$2.0^3 = 8$ (больше 7)
Следовательно, $1.9 < \sqrt[3]{7} < 2.0$. Первая цифра после запятой - 9.

3. Сотые доли:
$1.91^3 \approx 6.96787$ (меньше 7)
$1.92^3 \approx 7.07789$ (больше 7)
Следовательно, $1.91 < \sqrt[3]{7} < 1.92$. Вторая цифра после запятой - 1.

4. Тысячные доли:
$1.912^3 \approx 6.98978$ (меньше 7)
$1.913^3 \approx 7.00136$ (больше 7)
Следовательно, $1.912 < \sqrt[3]{7} < 1.913$. Третья цифра после запятой - 2.

5. Округление: Определим четвертую цифру.
$1.9129^3 \approx 6.9999_...$ (меньше 7)
$1.9130^3 \approx 7.0014_...$ (больше 7)
Значит, $1.9129 < \sqrt[3]{7} < 1.9130$. Четвертая цифра равна 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону, то есть увеличиваем третью цифру (2) на единицу.

Ответ: $\sqrt[3]{7} \approx 1.913$.

3.111 Вычислите с точностью до первого знака после запятой:

а) $\sqrt[4]{3}$;

б) $\sqrt[5]{7}$;

в) $\sqrt[5]{8}$.

Для вычисления значения корня с точностью до первого знака после запятой, необходимо найти его значение с точностью до второго знака, а затем округлить по правилам округления. Будем находить приближенные значения методом подбора.

а) Вычислим $\sqrt[4]{3}$.

1. Найдем целые числа, между которыми заключен корень.
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
Так как $1 < 3 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{3} < 2$.

2. Теперь найдем десятые доли.
$1.3^4 = (1.3^2)^2 = 1.69^2 = 2.8561$
$1.4^4 = (1.4^2)^2 = 1.96^2 = 3.8416$
Так как $1.3^4 < 3 < 1.4^4$, то $1.3 < \sqrt[4]{3} < 1.4$.

3. Чтобы правильно округлить до десятых, найдем сотые доли.
$1.31^4 = (1.31^2)^2 = 1.7161^2 \approx 2.945$
$1.32^4 = (1.32^2)^2 = 1.7424^2 \approx 3.036$
Так как $1.31^4 < 3 < 1.32^4$, то $\sqrt[4]{3} \approx 1.31...$.
Второй знак после запятой равен 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt[4]{3} \approx 1.3$

Ответ: $1.3$

б) Вычислим $\sqrt[5]{7}$.

1. Найдем целые числа, между которыми заключен корень.
$1^5 = 1$
$2^5 = 32$
Так как $1 < 7 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{7} < 2$.

2. Теперь найдем десятые доли.
$1.4^5 = 1.4^2 \cdot 1.4^3 = 1.96 \cdot 2.744 = 5.37824$
$1.5^5 = 1.5^2 \cdot 1.5^3 = 2.25 \cdot 3.375 = 7.6125$
Так как $1.4^5 < 7 < 1.5^5$, то $1.4 < \sqrt[5]{7} < 1.5$.

3. Чтобы правильно округлить до десятых, найдем сотые доли.
Поскольку 7 ближе к $1.5^5=7.6125$ (разница $\approx 0.61$), чем к $1.4^5 \approx 5.38$ (разница $\approx 1.62$), то значение корня будет ближе к 1.5, то есть вторая цифра после запятой должна быть 5 или больше. Проверим это.
$1.47^5 \approx 6.75$
$1.48^5 \approx 7.01$
Так как $1.47^5 < 7 < 1.48^5$, то $\sqrt[5]{7} \approx 1.47...$.
Второй знак после запятой равен 7. Так как $7 \geq 5$, округляем в большую сторону.

$\sqrt[5]{7} \approx 1.5$

Ответ: $1.5$

в) Вычислим $\sqrt[5]{8}$.

1. Найдем целые числа, между которыми заключен корень.
$1^5 = 1$
$2^5 = 32$
Так как $1 < 8 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{8} < 2$.

2. Теперь найдем десятые доли.
$1.5^5 = 7.6125$
$1.6^5 = 1.6^2 \cdot 1.6^3 = 2.56 \cdot 4.096 = 10.48576$
Так как $1.5^5 < 8 < 1.6^5$, то $1.5 < \sqrt[5]{8} < 1.6$.

3. Чтобы правильно округлить до десятых, найдем сотые доли.
Поскольку 8 ближе к $1.5^5=7.6125$ (разница $\approx 0.39$), чем к $1.6^5 \approx 10.49$ (разница $\approx 2.49$), то значение корня будет ближе к 1.5, то есть вторая цифра после запятой должна быть меньше 5. Проверим это.
$1.51^5 \approx 7.85$
$1.52^5 \approx 8.11$
Так как $1.51^5 < 8 < 1.52^5$, то $\sqrt[5]{8} \approx 1.51...$.
Второй знак после запятой равен 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt[5]{8} \approx 1.5$

Ответ: $1.5$