Номер 3.111, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.111, страница 122.

3.111 Вычислите с точностью до первого знака после запятой:

а) $\sqrt[4]{3}$;

б) $\sqrt[5]{7}$;

в) $\sqrt[5]{8}$.

Для вычисления значения корня с точностью до первого знака после запятой, необходимо найти его значение с точностью до второго знака, а затем округлить по правилам округления. Будем находить приближенные значения методом подбора.

а) Вычислим $\sqrt[4]{3}$.

1. Найдем целые числа, между которыми заключен корень.
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
Так как $1 < 3 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{3} < 2$.

2. Теперь найдем десятые доли.
$1.3^4 = (1.3^2)^2 = 1.69^2 = 2.8561$
$1.4^4 = (1.4^2)^2 = 1.96^2 = 3.8416$
Так как $1.3^4 < 3 < 1.4^4$, то $1.3 < \sqrt[4]{3} < 1.4$.

3. Чтобы правильно округлить до десятых, найдем сотые доли.
$1.31^4 = (1.31^2)^2 = 1.7161^2 \approx 2.945$
$1.32^4 = (1.32^2)^2 = 1.7424^2 \approx 3.036$
Так как $1.31^4 < 3 < 1.32^4$, то $\sqrt[4]{3} \approx 1.31...$.
Второй знак после запятой равен 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt[4]{3} \approx 1.3$

Ответ: $1.3$

б) Вычислим $\sqrt[5]{7}$.

1. Найдем целые числа, между которыми заключен корень.
$1^5 = 1$
$2^5 = 32$
Так как $1 < 7 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{7} < 2$.

2. Теперь найдем десятые доли.
$1.4^5 = 1.4^2 \cdot 1.4^3 = 1.96 \cdot 2.744 = 5.37824$
$1.5^5 = 1.5^2 \cdot 1.5^3 = 2.25 \cdot 3.375 = 7.6125$
Так как $1.4^5 < 7 < 1.5^5$, то $1.4 < \sqrt[5]{7} < 1.5$.

3. Чтобы правильно округлить до десятых, найдем сотые доли.
Поскольку 7 ближе к $1.5^5=7.6125$ (разница $\approx 0.61$), чем к $1.4^5 \approx 5.38$ (разница $\approx 1.62$), то значение корня будет ближе к 1.5, то есть вторая цифра после запятой должна быть 5 или больше. Проверим это.
$1.47^5 \approx 6.75$
$1.48^5 \approx 7.01$
Так как $1.47^5 < 7 < 1.48^5$, то $\sqrt[5]{7} \approx 1.47...$.
Второй знак после запятой равен 7. Так как $7 \geq 5$, округляем в большую сторону.

$\sqrt[5]{7} \approx 1.5$

Ответ: $1.5$

в) Вычислим $\sqrt[5]{8}$.

1. Найдем целые числа, между которыми заключен корень.
$1^5 = 1$
$2^5 = 32$
Так как $1 < 8 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{8} < 2$.

2. Теперь найдем десятые доли.
$1.5^5 = 7.6125$
$1.6^5 = 1.6^2 \cdot 1.6^3 = 2.56 \cdot 4.096 = 10.48576$
Так как $1.5^5 < 8 < 1.6^5$, то $1.5 < \sqrt[5]{8} < 1.6$.

3. Чтобы правильно округлить до десятых, найдем сотые доли.
Поскольку 8 ближе к $1.5^5=7.6125$ (разница $\approx 0.39$), чем к $1.6^5 \approx 10.49$ (разница $\approx 2.49$), то значение корня будет ближе к 1.5, то есть вторая цифра после запятой должна быть меньше 5. Проверим это.
$1.51^5 \approx 7.85$
$1.52^5 \approx 8.11$
Так как $1.51^5 < 8 < 1.52^5$, то $\sqrt[5]{8} \approx 1.51...$.
Второй знак после запятой равен 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt[5]{8} \approx 1.5$

Ответ: $1.5$