Номер 4.5, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.5, страница 124.

4.5 a) $a^{-0,5}$, $b^{-\frac{2}{3}}$, $c^{-2,5}$, $x^{-0,5}$;

б) $(a^2-b)^{-\frac{1}{2}}$, $(x+2y)^{-0,75}$, $(1-2y)^{-\frac{2}{5}}$, $(m-n^2)^{-\frac{1}{n}}$,

где $n \in N$ и $n \geq 2$.

а)

Чтобы представить выражения с отрицательным показателем в виде дроби с корнем в знаменателе, воспользуемся двумя основными свойствами степеней:
1. Свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).
2. Определение степени с дробным (рациональным) показателем: $a^{\frac{m}{k}} = \sqrt[k]{a^m}$.

$a^{-0,5} = a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$

$b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$

$c^{-2,5} = c^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{c^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{c^5}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{c^5}}$

$x^{-0,5} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}}$

б)

Применяем те же свойства, что и в пункте а), рассматривая выражение в скобках как основание степени.

$(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(a^2 - b)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$

$(x + 2y)^{-0,75} = (x + 2y)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{(x + 2y)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x + 2y)^3}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{(x + 2y)^3}}$

$(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{(1 - 2y)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$

$(m - n^2)^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{(m - n^2)^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{m - n^2}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[n]{m - n^2}}$