Номер 4.1, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.1, страница 124.

4.1° a) Что называют степенью с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ положительного числа $a$?

б) Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.

а) Степенью положительного числа $a$ ($a>0$) с рациональным показателем $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}, q \ge 2$), называется число, которое равно корню $q$-ой степени из числа $a$, возведенного в степень $p$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^r = a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Например, вычислим $27^{\frac{2}{3}}$:

$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.

Также можно сначала извлечь корень, а потом возвести в степень: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$. Результат будет тем же.

Ответ: Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \ge 2$), называют число $\sqrt[q]{a^p}$.

б) В данном пункте, как правило, доказывается теорема о свойствах степени с рациональным показателем, которая является обобщением свойств степени с целым показателем.

Формулировка теоремы:

Для любых положительных чисел $a$, $b$ и для любых рациональных чисел $r_1$, $r_2$ справедливы следующие равенства:

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием: $a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1 - r_2}$

3. Возведение степени в степень: $(a^{r_1})^{r_2} = a^{r_1 \cdot r_2}$

4. Возведение в степень произведения: $(ab)^{r_1} = a^{r_1} b^{r_1}$

5. Возведение в степень частного (дроби): $(\frac{a}{b})^{r_1} = \frac{a^{r_1}}{b^{r_1}}$

Ответ: Теорема о свойствах степени с рациональным показателем: для любых $a > 0$, $b > 0$ и любых рациональных чисел $r_1$, $r_2$ верны равенства:
1) $a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}$;
2) $a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1 - r_2}$;
3) $(a^{r_1})^{r_2} = a^{r_1 r_2}$;
4) $(ab)^{r_1} = a^{r_1}b^{r_1}$;
5) $(\frac{a}{b})^{r_1} = \frac{a^{r_1}}{b^{r_1}}$.