Номер 4.7, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.7, страница 125.

4.7 Объясните, почему для любого положительного числа $a$ верно равенство:

а) $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a;$

б) $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a;$

в) $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a;$

г) $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a.$

а) Данное равенство верно, поскольку оно основано на свойстве возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применив это свойство к левой части равенства, получаем: $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$. Также это равенство следует непосредственно из определения корня третьей степени (или степени с показателем $\frac{1}{3}$): $a^{\frac{1}{3}}$ — это такое число, куб которого равен $a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.

б) Это равенство также верно благодаря свойству возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Преобразуем левую часть: $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$. Левая часть выражения равна правой, что и требовалось объяснить.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.

в) Для доказательства верности этого равенства снова используем свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Выполним преобразование: $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$. Данное равенство также является определением квадратного корня (степени с показателем $\frac{1}{2}$): $a^{\frac{1}{2}}$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.

г) Это равенство верно для любого положительного числа $a$. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем: $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$. Важно подчеркнуть, что это равенство справедливо именно потому, что по условию $a > 0$. В общем случае для любого действительного числа $a$ было бы верно равенство $(a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^2} = |a|$. Но поскольку $a$ положительно, $|a| = a$.

Ответ: Равенство верно для положительного $a$, так как по свойству степеней $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$.