Номер 4.12, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.12, страница 129.

4.12 Чему равна степень с рациональным показателем:

а) произведения положительных чисел;

б) частного положительных чисел?

а) произведения положительных чисел;

Степень с рациональным показателем от произведения положительных чисел равна произведению степеней этих чисел, возведенных в тот же показатель. Это свойство является прямым обобщением аналогичного правила для степеней с целыми показателями.

Для любых положительных чисел $a > 0$, $b > 0$ и любого рационального числа $p$ справедливо следующее равенство:

$(ab)^p = a^p b^p$

Таким образом, чтобы возвести произведение в рациональную степень, необходимо возвести в эту степень каждый из сомножителей и результаты перемножить.

Ответ: произведению степеней сомножителей с тем же показателем: $(ab)^p = a^p b^p$.

б) частного положительных чисел?

Степень с рациональным показателем от частного (дроби) положительных чисел равна частному степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя), возведенных в тот же показатель.

Для любых положительных чисел $a > 0$, $b > 0$ и любого рационального числа $p$ справедливо следующее равенство:

$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$

Таким образом, чтобы возвести дробь в рациональную степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности, а затем первый результат разделить на второй.

Ответ: частному степеней делимого и делителя с тем же показателем: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.