Номер 4.17, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.17, страница 130.

Упростите выражение1 (4.17–4.20):

4.17 а) $x^{0,5} \cdot x^{0,25};$

Б) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}};$

В) $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5};$

Г) $b \cdot b^{-\frac{2}{3}};$

Д) $a^{\frac{3}{5}} \cdot a;$

е) $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}};$

ж) $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}};$

З) $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}.$

а) Чтобы упростить выражение $x^{0,5} \cdot x^{0,25}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $x$, а показатели степеней — $0,5$ и $0,25$. Складываем показатели: $0,5 + 0,25 = 0,75$. Таким образом, получаем: $x^{0,5} \cdot x^{0,25} = x^{0,5+0,25} = x^{0,75}$. Ответ: $x^{0,75}$.

б) Для упрощения выражения $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$ применим правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием: $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}}$. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Тогда сумма показателей будет равна $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Итоговое выражение: $a^{\frac{5}{6}}$. Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$.

в) Упростим выражение $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5}$. Для этого сложим показатели степеней. Сначала представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Теперь сложим показатели: $\frac{5}{8} + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{1}{2}$. Приводя к общему знаменателю 8, получаем: $\frac{5}{8} - \frac{4}{8} = \frac{1}{8}$. Следовательно, $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5} = x^{\frac{1}{8}}$. Ответ: $x^{\frac{1}{8}}$.

г) Рассмотрим выражение $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}}$. Степень переменной $b$ равна 1 ($b = b^1$). Смешанное число $-1\frac{2}{3}$ переведем в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$. Теперь воспользуемся свойством умножения степеней: $b^1 \cdot b^{-\frac{5}{3}} = b^{1 + (-\frac{5}{3})} = b^{1 - \frac{5}{3}}$. Вычислим разность показателей: $1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}$. Результат: $b^{-\frac{2}{3}}$. Ответ: $b^{-\frac{2}{3}}$.

д) Для упрощения $a^{\frac{3}{5}} \cdot a$ учтем, что $a$ можно записать как $a^1$. Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием, складываем их показатели: $a^{\frac{3}{5}} \cdot a^1 = a^{\frac{3}{5} + 1}$. Представим 1 как $\frac{5}{5}$ и сложим дроби: $\frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{8}{5}$. Таким образом, выражение равно $a^{\frac{8}{5}}$. Ответ: $a^{\frac{8}{5}}$.

е) Упростим выражение $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}}$. Складываем показатели степеней с одинаковым основанием: $\frac{3}{8} + (-\frac{3}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{8} = 0$. Получаем $a^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}} = a^0 = 1$ (при условии $a \neq 0$). Ответ: $1$.

ж) Рассмотрим произведение трех степеней $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}}$. Для упрощения нужно сложить все показатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}$. Найдем общий знаменатель для дробей 2, 4 и 3, он равен 12. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$. Теперь сложим их: $\frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{6+3+4}{12} = \frac{13}{12}$. Результат: $y^{\frac{13}{12}}$. Ответ: $y^{\frac{13}{12}}$.

з) Упростим выражение $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}$ путем сложения показателей степеней: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6}$. Общий знаменатель для 3, 4 и 6 равен 12. Преобразуем дроби: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. Сумма показателей равна $\frac{8}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{8+9+10}{12} = \frac{27}{12}$. Эту дробь можно сократить на 3: $\frac{27 \div 3}{12 \div 3} = \frac{9}{4}$. Итоговое выражение: $z^{\frac{9}{4}}$. Ответ: $z^{\frac{9}{4}}$.