Номер 4.16, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.16, страница 129.

4.16 Найдите ошибку в «доказательстве»:

$-1 = (-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1.$

Ошибка в представленном "доказательстве" заключается в неверном применении свойств степеней. Рассмотрим всю цепочку равенств: $$ -1 = (-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 $$

Первые два равенства верны: $-1 = (-1)^1$ и $1 = \frac{2}{2}$, поэтому запись $(-1)^{\frac{2}{2}}$ корректна и равна $-1$ (так как показатель степени $\frac{2}{2} = 1$).

Ошибка возникает на третьем шаге, в равенстве $(-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$. Это преобразование пытается использовать свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, где $a=-1$, $m=2$ и $n=\frac{1}{2}$.

Данное свойство справедливо не для всех случаев. Оно гарантированно выполняется, когда основание $a$ является положительным числом ($a > 0$). Если же основание $a$ отрицательное, как в нашем случае ($a = -1$), то свойство $(a^m)^n = a^{mn}$ может нарушаться, если показатель $n$ не является целым числом. Здесь $n=\frac{1}{2}$ — дробный показатель.

Чтобы убедиться в ошибке, вычислим значения левой и правой частей этого равенства:

Левая часть: $(-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^1 = -1$.

Правая часть: $((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = (1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, равенство $(-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$ является ложным. Именно этот неверный шаг приводит к парадоксальному выводу, что $-1=1$.

Ответ: Ошибка допущена в равенстве $(-1)^{\frac{2}{2}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$. Она заключается в неправомерном применении свойства $(a^m)^n = a^{mn}$ для отрицательного основания ($a=-1$) и нецелого показателя ($n=\frac{1}{2}$), для которых это свойство не выполняется.