Номер 4.22, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.22, страница 130.

4.22 Упростите выражение:

a) $\frac{1}{2b^2} - \left(\frac{1}{b^3+3} : \frac{1}{b^2-3^2}\right)^2 : \left(\frac{1}{b^3-3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{b-27}\right);$

б) $\left(\frac{4}{a^{1,5}-8} - \frac{a^{0,5}-2}{a+2a^{0,5}+4}\right) \cdot \left(\frac{a^2-8a^{0,5}}{a-16} - \frac{4a^{0,5}}{a^{0,5}+4}\right);$

в) $\left(\frac{a^4(a+1)^{-\frac{1}{3}}}{a^2-1} \cdot \frac{a^4(a-1)^{\frac{1}{3}}}{a^2+1}\right)^{\frac{1}{3}} : \frac{(a+1)^{-\frac{8}{9}}}{(a-1)^{\frac{7}{9}} \cdot a^{\frac{4}{3}}};$

г) $\left(\left(\frac{b-b^{-\frac{1}{2}}}{1-b^{-\frac{1}{2}}} - \frac{b+b^{-\frac{1}{2}}}{1+b^{-\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{2} + 7\right);$

а) Выражение в задании, по-видимому, содержит опечатку. Наиболее вероятная форма знаменателя в выражении, возводимом в квадрат, это $b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}}$. Решим задачу с этим предположением.

Исходное выражение (с исправлением):
$ \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} : \left(\frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{b^{\frac{3}{2}}}\right) - \left(\frac{b^{\frac{1}{3}} + 3}{b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}}}\right)^2 : \left(\frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{b - 27}\right) $

1. Упростим первый член:
$ \frac{1}{b^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{b^{\frac{3}{2}}} = \frac{b-3}{b^{\frac{3}{2}}} $
$ \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} : \frac{b-3}{b^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b-3} = \frac{b}{2(b-3)} $

2. Упростим выражение, которое возводится в квадрат:
$ b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b-3}{b^{\frac{1}{2}}} $
$ \frac{b^{\frac{1}{3}} + 3}{b^{\frac{1}{2}} - 3b^{-\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + 3}{(b-3)/b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{3}} + 3)}{b-3} $

3. Упростим делитель в последней части:
$ \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{b - 27} = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{(b^{\frac{1}{3}})^3 - 3^3} $
$ = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}} - 3} + \frac{3b^{\frac{1}{3}}}{(b^{\frac{1}{3}}-3)(b^{\frac{2}{3}}+3b^{\frac{1}{3}}+9)} = \frac{b^{\frac{2}{3}}+3b^{\frac{1}{3}}+9 + 3b^{\frac{1}{3}}}{b-27} $
$ = \frac{b^{\frac{2}{3}}+6b^{\frac{1}{3}}+9}{b-27} = \frac{(b^{\frac{1}{3}}+3)^2}{b-27} $

4. Выполним деление второго члена на третий:
$ \left(\frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{3}} + 3)}{b-3}\right)^2 : \frac{(b^{\frac{1}{3}}+3)^2}{b-27} = \frac{b(b^{\frac{1}{3}} + 3)^2}{(b-3)^2} \cdot \frac{b-27}{(b^{\frac{1}{3}}+3)^2} = \frac{b(b-27)}{(b-3)^2} $

5. Соберем все вместе:
$ \frac{b}{2(b-3)} - \frac{b(b-27)}{(b-3)^2} = \frac{b(b-3) - 2b(b-27)}{2(b-3)^2} $
$ = \frac{b^2 - 3b - 2b^2 + 54b}{2(b-3)^2} = \frac{-b^2 + 51b}{2(b-3)^2} = \frac{b(51-b)}{2(b-3)^2} $

Ответ: $ \frac{b(51-b)}{2(b-3)^2} $

б) $ \left(\frac{4}{a^{1,5} - 8} - \frac{a^{0,5} - 2}{a + 2a^{0,5} + 4}\right) \cdot \frac{a^2 - 8a^{0,5}}{a - 16} - \frac{4a^{0,5}}{a^{0,5} + 4} $

1. Введем замену $x = a^{0,5}$. Тогда $a = x^2$, $a^{1,5} = x^3$. Выражение примет вид:
$ \left(\frac{4}{x^3 - 8} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4}\right) \cdot \frac{x^4 - 8x}{x^2 - 16} - \frac{4x}{x + 4} $

2. Упростим выражение в скобках, используя формулу разности кубов $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$:
$ \frac{4}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} = \frac{4 - (x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} $
$ = \frac{4 - (x^2-4x+4)}{x^3 - 8} = \frac{4 - x^2 + 4x - 4}{x^3 - 8} = \frac{4x - x^2}{x^3 - 8} = \frac{x(4-x)}{x^3-8} $

3. Упростим второй множитель:
$ \frac{x^4 - 8x}{x^2 - 16} = \frac{x(x^3 - 8)}{(x-4)(x+4)} $

4. Выполним умножение:
$ \frac{x(4-x)}{x^3-8} \cdot \frac{x(x^3 - 8)}{(x-4)(x+4)} = \frac{-x(x-4)}{x^3-8} \cdot \frac{x(x^3 - 8)}{(x-4)(x+4)} = \frac{-x^2}{x+4} $

5. Выполним вычитание:
$ \frac{-x^2}{x+4} - \frac{4x}{x+4} = \frac{-x^2 - 4x}{x+4} = \frac{-x(x+4)}{x+4} = -x $

6. Вернемся к исходной переменной: $-x = -a^{0,5}$.

Ответ: $ -a^{0,5} $

в) $ \left( \frac{a^{\frac{3}{4}}(a+1)^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}-1} \cdot \frac{a^{\frac{1}{4}}(a-1)^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}+1} \right)^{-\frac{1}{3}} : \frac{(a+1)^{\frac{8}{9}}}{(a-1)^{\frac{7}{9}} \cdot a^{\frac{4}{3}}} $

1. Упростим выражение в больших скобках. Перемножим дроби:
$ \frac{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{4}}(a+1)^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{-\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)} = \frac{a^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}((a+1)(a-1))^{-\frac{1}{3}}}{a-1} = \frac{a(a^2-1)^{-\frac{1}{3}}}{a-1} $
$ = \frac{a}{(a-1)(a^2-1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a}{(a-1)((a-1)(a+1))^{\frac{1}{3}}} = \frac{a}{(a-1)^{1+\frac{1}{3}}(a+1)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a}{(a-1)^{\frac{4}{3}}(a+1)^{\frac{1}{3}}} $

2. Возведем полученное выражение в степень $-\frac{1}{3}$:
$ \left(\frac{a}{(a-1)^{\frac{4}{3}}(a+1)^{\frac{1}{3}}}\right)^{-\frac{1}{3}} = \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{(a-1)^{\frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{3})} (a+1)^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{3})}} = \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{(a-1)^{-\frac{4}{9}}(a+1)^{-\frac{1}{9}}} = a^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{\frac{4}{9}}(a+1)^{\frac{1}{9}} $

3. Выполним деление:
$ a^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{\frac{4}{9}}(a+1)^{\frac{1}{9}} : \frac{(a+1)^{\frac{8}{9}}}{(a-1)^{\frac{7}{9}} a^{\frac{4}{3}}} = a^{-\frac{1}{3}}(a-1)^{\frac{4}{9}}(a+1)^{\frac{1}{9}} \cdot \frac{(a-1)^{\frac{7}{9}} a^{\frac{4}{3}}}{(a+1)^{\frac{8}{9}}} $

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$ a^{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}} \cdot (a-1)^{\frac{4}{9}+\frac{7}{9}} \cdot (a+1)^{\frac{1}{9}-\frac{8}{9}} = a^{\frac{3}{3}} \cdot (a-1)^{\frac{11}{9}} \cdot (a+1)^{-\frac{7}{9}} = a(a-1)^{\frac{11}{9}}(a+1)^{-\frac{7}{9}} $

Ответ: $ \frac{a(a-1)^{\frac{11}{9}}}{(a+1)^{\frac{7}{9}}} $

г) В данном выражении, вероятно, допущена опечатка в числителях дробей в скобках. Если предположить, что вместо $b^{-\frac{1}{2}}$ должно быть $b^{\frac{1}{2}}$, выражение значительно упрощается. Решим исправленный вариант:
$ \left( \left( \frac{b-b^{\frac{1}{2}}}{1-b^{\frac{1}{2}}} - \frac{b+b^{\frac{1}{2}}}{1+b^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{2} + 7 \right)^{\frac{1}{3}} $

1. Упростим дроби в скобках:
$ \frac{b-b^{\frac{1}{2}}}{1-b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}}-1)}{1-b^{\frac{1}{2}}} = -b^{\frac{1}{2}} $
$ \frac{b+b^{\frac{1}{2}}}{1+b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}}+1)}{1+b^{\frac{1}{2}}} = b^{\frac{1}{2}} $

2. Вычислим значение выражения в первых скобках:
$ -b^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = -2b^{\frac{1}{2}} $

3. Выполним умножение и сложение под знаком корня:
$ (-2b^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{b^{-\frac{1}{2}}}{2} + 7 = -2b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2b^{\frac{1}{2}}} + 7 = -1 + 7 = 6 $

4. Возведем в степень $\frac{1}{3}$:
$ 6^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{6} $

Ответ: $ \sqrt[3]{6} $