Номер 4.24, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.24, страница 133.

4.24° Какой величиной — бесконечно малой или бесконечно большой — является переменная $\alpha_n$, если:

а) $\alpha_n = \frac{1}{n}$;

б) $\alpha_n = \frac{2000}{n}$;

в) $\alpha_n = \frac{32n}{n^2}$;

г) $\alpha_n = n$;

д) $\alpha_n = n^2$;

е) $\alpha_n = n^3 + 3n?$

Чтобы определить, является ли переменная $\alpha_n$ бесконечно малой или бесконечно большой, необходимо найти её предел при $n \to \infty$.

• Если $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$, то переменная является бесконечно малой.
• Если $\lim_{n \to \infty} |\alpha_n| = \infty$, то переменная является бесконечно большой.

а) Дана переменная $\alpha_n = \frac{1}{n}$.

Найдем её предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Поскольку предел последовательности равен нулю, она является бесконечно малой величиной.

Ответ: бесконечно малая.

б) Дана переменная $\alpha_n = \frac{2000}{n}$.

Найдем её предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2000}{n} = 2000 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 2000 \cdot 0 = 0$.

Поскольку предел последовательности равен нулю, она является бесконечно малой величиной.

Ответ: бесконечно малая.

в) Дана переменная $\alpha_n = \frac{32n}{n^2}$.

Сначала упростим выражение: $\alpha_n = \frac{32n}{n^2} = \frac{32}{n}$.

Теперь найдем предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{32}{n} = 32 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 32 \cdot 0 = 0$.

Поскольку предел последовательности равен нулю, она является бесконечно малой величиной.

Ответ: бесконечно малая.

г) Дана переменная $\alpha_n = n$.

Найдем её предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty$.

Поскольку предел последовательности равен бесконечности, она является бесконечно большой величиной.

Ответ: бесконечно большая.

д) Дана переменная $\alpha_n = n^2$.

Найдем её предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty$.

Поскольку предел последовательности равен бесконечности, она является бесконечно большой величиной.

Ответ: бесконечно большая.

е) Дана переменная $\alpha_n = n^3 + 3n$.

Найдем её предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} (n^3 + 3n) = \lim_{n \to \infty} n^3(1 + \frac{3}{n^2})$.

Так как $\lim_{n \to \infty} n^3 = \infty$ и $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3}{n^2}) = 1 + 0 = 1$, то предел всей последовательности равен бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} (n^3 + 3n) = \infty$.

Поскольку предел последовательности равен бесконечности, она является бесконечно большой величиной.

Ответ: бесконечно большая.