Номер 4.27, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.27, страница 133.

4.27 Каким свойством обладает переменная $x_n$, называемая бесконечно большой? Приведите примеры.

Свойство бесконечно большой переменной $x_n$

Переменная (в контексте математического анализа — член числовой последовательности) $x_n$ называется бесконечно большой, если по мере неограниченного возрастания её номера $n$ члены последовательности $x_n$ становятся и остаются по абсолютной величине (по модулю) больше любого наперёд заданного положительного числа. Иными словами, члены последовательности неограниченно удаляются от нуля.

Это свойство формально определяется через понятие предела. Последовательность $x_n$ является бесконечно большой, если её предел при $n \to \infty$ равен бесконечности. Это записывается как $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$.

На языке математической логики (с использованием кванторов) это определение выглядит так: для любого, сколь угодно большого положительного числа $M$, существует такой натуральный номер $N$ (зависящий от выбора $M$), что для всех номеров $n$, больших чем $N$ (то есть $n > N$), выполняется неравенство $|x_n| > M$.

Математическая запись этого свойства: $ \forall M > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \implies |x_n| > M $.

При этом различают случаи, когда последовательность стремится к «плюс бесконечности» ($+\infty$) или «минус бесконечности» ($-\infty$):
• $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$, если $\forall M > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \implies x_n > M$. (Все члены, начиная с некоторого номера, становятся больше любого положительного числа).
• $\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty$, если $\forall M > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \implies x_n < -M$. (Все члены, начиная с некоторого номера, становятся меньше любого по модулю отрицательного числа).

Ответ: Бесконечно большая переменная $x_n$ обладает свойством, что для любого наперёд заданного положительного числа $M$ можно найти такой номер $N$, что все члены последовательности с номерами $n > N$ будут по абсолютной величине больше $M$, то есть будет выполняться неравенство $|x_n| > M$.

Примеры

1. Арифметическая прогрессия: $x_n = n$. Её члены $1, 2, 3, \dots$ неограниченно возрастают, то есть $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$.

2. Степенная последовательность: $x_n = -n^2$. Её члены $-1, -4, -9, \dots$ неограниченно убывают, то есть $\lim_{n \to \infty} (-n^2) = -\infty$. Её модуль $|x_n| = n^2$ стремится к $+\infty$.

3. Знакочередующаяся последовательность: $x_n = (-1)^n \cdot n$. Её члены: $-1, 2, -3, 4, \dots$. Эта последовательность не стремится ни к $+\infty$, ни к $-\infty$, но является бесконечно большой, так как её модуль $|x_n| = n$ стремится к $+\infty$.

4. Логарифмическая последовательность: $x_n = \log_a n$ при $a>1$. Например, $x_n = \ln n$. Она растёт медленно, но неограниченно, стремясь к $+\infty$.

5. Показательная (экспоненциальная) последовательность: $x_n = a^n$ при $a>1$. Например, $x_n = 2^n$. Она очень быстро стремится к $+\infty$.

Ответ: Примеры бесконечно больших переменных: $x_n = n$; $x_n = -n^2$; $x_n = (-1)^n n$; $x_n = \ln n$; $x_n = 2^n$.