Номер 4.29, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.3. Понятие предела последовательности - номер 4.29, страница 133.

Условие.

4.29 Найдите предел переменной, представив её в виде суммы постоянной и бесконечно малой:

а) $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 3}{n} $;

б) $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^2} $;

в) $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3} $;

г) $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3}{n^3} $;

д) $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 2}{n + 1} $;

е) $ \lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 2n + 5}{2n^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)Чтобы найти предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n+3}{n}$, представим переменную (дробь) в виде суммы постоянной и бесконечно малой величины. Для этого разделим числитель на знаменатель почленно:$$ \frac{n+3}{n} = \frac{n}{n} + \frac{3}{n} = 1 + \frac{3}{n} $$Здесь $1$ — это постоянная, а $\frac{3}{n}$ — бесконечно малая величина, так как её предел при $n \to +\infty$ равен нулю: $\lim_{n \to +\infty} \frac{3}{n} = 0$.Теперь находим предел исходного выражения:$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n+3}{n} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right) = 1 + 0 = 1 $$Ответ: $1$.

б)Рассмотрим предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2-1}{n^2}$. Представим дробь в виде суммы, разделив числитель на знаменатель:$$ \frac{n^2-1}{n^2} = \frac{n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2} $$В этом выражении $1$ — постоянная, а $-\frac{1}{n^2}$ — бесконечно малая величина, поскольку $\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n^2}\right) = 0$.Следовательно, предел равен:$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2-1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - 0 = 1 $$Ответ: $1$.

в)Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2-1}{n^3}$. Разделим почленно числитель на знаменатель:$$ \frac{n^2-1}{n^3} = \frac{n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^3} $$В данном случае мы получили разность двух бесконечно малых величин. Можно представить это как сумму постоянной $0$ и бесконечно малой $\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^3}\right)$.Так как $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ и $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3} = 0$, то:$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2-1}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^3}\right) = 0 - 0 = 0 $$Ответ: $0$.

г)Рассмотрим предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3-3}{n^3}$. Выполним почленное деление:$$ \frac{n^3-3}{n^3} = \frac{n^3}{n^3} - \frac{3}{n^3} = 1 - \frac{3}{n^3} $$Здесь $1$ — постоянная, а $-\frac{3}{n^3}$ — бесконечно малая величина, так как $\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{3}{n^3}\right) = 0$.Тогда предел равен:$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3-3}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{3}{n^3}\right) = 1 - 0 = 1 $$Ответ: $1$.

д)Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n+2}{n+1}$. Чтобы выделить целую часть (постоянную), представим числитель следующим образом: $n+2 = (n+1) + 1$.$$ \frac{n+2}{n+1} = \frac{(n+1) + 1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} + \frac{1}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1} $$В полученном выражении $1$ — постоянная, а $\frac{1}{n+1}$ — бесконечно малая величина, так как при $n \to +\infty$, знаменатель $n+1 \to +\infty$, и дробь стремится к нулю.Находим предел:$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n+2}{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right) = 1 + 0 = 1 $$Ответ: $1$.

е)Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2+2n+5}{2n^2}$. Разделим каждый член числителя на знаменатель $2n^2$:$$ \frac{3n^2+2n+5}{2n^2} = \frac{3n^2}{2n^2} + \frac{2n}{2n^2} + \frac{5}{2n^2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{n} + \frac{5}{2n^2} $$Здесь постоянная равна $\frac{3}{2}$, а сумма $\frac{1}{n} + \frac{5}{2n^2}$ является бесконечно малой величиной, так как каждое слагаемое стремится к нулю при $n \to +\infty$.Вычисляем предел:$$ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{n} + \frac{5}{2n^2}\right) = \frac{3}{2} + 0 + 0 = \frac{3}{2} $$Ответ: $\frac{3}{2}$.