Номер 4.25, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.25, страница 133.

4.25 Представьте переменную $\alpha_n$ в виде суммы постоянной и бесконечно малой, если:

а) $\alpha_n = \frac{n + 1}{n}$;

б) $\alpha_n = \frac{3n + 1}{n}$;

в) $\alpha_n = \frac{n^2 + 4n}{n^2}$.

a) Чтобы представить переменную $ \alpha_n $ в виде суммы постоянной и бесконечно малой величины, мы можем выполнить алгебраическое преобразование, разделив числитель на знаменатель почленно.

$ \alpha_n = \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n} $

В полученном выражении слагаемое $ 1 $ является постоянной величиной (константой). Слагаемое $ \frac{1}{n} $ является бесконечно малой последовательностью, поскольку её предел при $ n \to \infty $ равен нулю:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $

Таким образом, переменная $ \alpha_n $ представлена в виде суммы постоянной $ 1 $ и бесконечно малой $ \frac{1}{n} $.

Ответ: $ \alpha_n = 1 + \frac{1}{n} $.

б) Аналогично предыдущему пункту, выполним почленное деление числителя на знаменатель.

$ \alpha_n = \frac{3n+1}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n} $

Здесь постоянная часть равна $ 3 $, а $ \frac{1}{n} $ — бесконечно малая последовательность, так как $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $.

Таким образом, переменная $ \alpha_n $ представлена в виде суммы постоянной $ 3 $ и бесконечно малой $ \frac{1}{n} $.

Ответ: $ \alpha_n = 3 + \frac{1}{n} $.

в) Снова применим метод почленного деления числителя на знаменатель.

$ \alpha_n = \frac{n^2+4n}{n^2} = \frac{n^2}{n^2} + \frac{4n}{n^2} = 1 + \frac{4}{n} $

Постоянная часть равна $ 1 $. Величина $ \frac{4}{n} $ является бесконечно малой, так как её предел равен нулю при $ n \to \infty $:

$ \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 4 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 4 \cdot 0 = 0 $

Таким образом, переменная $ \alpha_n $ представлена в виде суммы постоянной $ 1 $ и бесконечно малой $ \frac{4}{n} $.

Ответ: $ \alpha_n = 1 + \frac{4}{n} $.