Номер 4.18, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.18, страница 130.

4.18 а) $125^{1.5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$;

б) $2^{1.25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$;

в) $x^2 \cdot \sqrt{x}$;

г) $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$;

д) $a^{-\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$;

е) $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$;

ж) $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}}$;

з) $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}$.

а) Для упрощения выражения $125^{1,5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$ приведем основания степеней к общему основанию 5. Известно, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим эти значения в выражение:

$(5^3)^{1,5} \cdot (5^2)^{-\frac{3}{4}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{3 \cdot 1,5} \cdot 5^{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = 5^{4,5} \cdot 5^{-\frac{3}{2}}$

Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели. Для этого представим $4,5$ в виде дроби $\frac{9}{2}$:

$5^{\frac{9}{2}} \cdot 5^{-\frac{3}{2}} = 5^{\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3$

Вычисляем результат:

$5^3 = 125$

Ответ: $125$

б) Чтобы упростить выражение $2^{1,25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$, приведем основание 16 к основанию 2. Так как $16 = 2^4$, выражение принимает вид:

$2^{1,25} \cdot (2^4)^{\frac{1}{16}}$

По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{1,25} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{4}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$

Переведем десятичную дробь $1,25$ в обыкновенную $\frac{5}{4}$ и сложим показатели по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Представим результат в виде корня:

$2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

в) В выражении $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$ представим квадратный корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Тогда выражение принимает вид:

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели:

$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x$

Ответ: $x$

г) В выражении $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$ представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Получаем произведение степеней с одинаковым основанием:

$x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$

Складываем показатели, приведя их к общему знаменателю 12:

$x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}} = x^{\frac{7}{12}}$

Ответ: $x^{\frac{7}{12}}$

д) В выражении $a^{-\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$ представим корень в виде степени: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

Выражение принимает вид:

$a^{-\frac{1}{2}} : a^{\frac{1}{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$a^{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^{-1}$

Запишем результат в виде дроби:

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

е) Для упрощения $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$ представим корень в виде степени: $\sqrt[5]{z^2} = z^{\frac{2}{5}}$.

Получаем деление степеней с одинаковым основанием:

$z^{\frac{2}{3}} : z^{\frac{2}{5}}$

Вычитаем показатели, предварительно приведя дроби к общему знаменателю 15:

$z^{\frac{2}{3} - \frac{2}{5}} = z^{\frac{10}{15} - \frac{6}{15}} = z^{\frac{4}{15}}$

Ответ: $z^{\frac{4}{15}}$

ж) В выражении $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}}$ представим корень четвертой степени в виде степени с показателем $\frac{1}{4}$: $\sqrt[4]{m} = m^{\frac{1}{4}}$.

Выражение принимает вид:

$m^{\frac{1}{4}} : m^{-\frac{1}{2}}$

При делении степеней вычитаем показатели:

$m^{\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})} = m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$

Приводим показатели к общему знаменателю 4 и складываем:

$m^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = m^{\frac{3}{4}}$

Ответ: $m^{\frac{3}{4}}$

з) В выражении $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}$ представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.

Получаем:

$a^{\frac{1}{3}} : a^{-\frac{1}{6}}$

Вычитаем показатели степеней:

$a^{\frac{1}{3} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6 и складываем:

$a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$

Результат можно записать в виде квадратного корня:

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Ответ: $\sqrt{a}$