Номер 4.11, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.2. Свойства степени с рациональным показателем - номер 4.11, страница 129.

Условие.

4.11 По какому правилу возводят в степень с рациональным показателем степень положительного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Возведение степени положительного числа в степень с рациональным показателем производят по правилу умножения показателей. Это правило гласит, что для возведения степени в степень необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.

Данное правило является обобщением соответствующего свойства для степеней с целыми показателями на случай рациональных показателей. Оно формулируется следующим образом:

Для любого положительного числа $a$ ($a > 0$) и любых рациональных чисел $p$ и $q$ справедливо равенство:

$ (a^p)^q = a^{p \cdot q} $

Пример:

Вычислим значение выражения $ (81^{3/4})^{1/2} $.

Здесь основание $a = 81$, первый показатель $p = 3/4$, второй показатель $q = 1/2$.

Применяя правило, перемножаем показатели:

$ (81^{3/4})^{1/2} = 81^{(3/4) \cdot (1/2)} = 81^{3/8} $.

Для вычисления можно представить $81$ как $3^4$:

$ (3^4)^{3/8} = 3^{4 \cdot (3/8)} = 3^{12/8} = 3^{3/2} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $.

Этот же результат можно получить, вычисляя по шагам:

1. Сначала вычислим внутреннюю степень: $ 81^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 $.

2. Затем возведем полученный результат в степень $1/2$: $ (27)^{1/2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $.

Совпадение результатов подтверждает верность правила.

Ответ: Степень положительного числа возводят в степень с рациональным показателем по правилу умножения показателей: основание степени оставляют без изменений, а показатели перемножают. Формула этого правила: $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, где $a > 0$, а $p$ и $q$ — рациональные числа.