Номер 4.10, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.2. Свойства степени с рациональным показателем - номер 4.10, страница 129.

Условие.

4.10 По какому правилу: а) умножают; б) делят степени с рациональным показателем одного и того же положительного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) При умножении степеней с рациональными показателями, имеющих одинаковое положительное основание, используется правило, аналогичное правилу для целых показателей. Согласно этому правилу, основание степени оставляют без изменений, а показатели степеней складывают. Если имеется положительное число $a$ ($a > 0$) и два рациональных показателя $p$ и $q$, то их произведение будет равно $a$ в степени, равной сумме $p$ и $q$.
Формула умножения степеней: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.
Ответ: Чтобы умножить степени с одинаковым положительным основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

б) При делении степеней с рациональными показателями и одинаковым положительным основанием, основание также оставляют прежним, но из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это правило является прямым обобщением свойства деления степеней с целыми показателями. Для любого положительного числа $a$ ($a > 0$) и любых рациональных чисел $p$ и $q$, частное от деления $a^p$ на $a^q$ вычисляется по следующей формуле.
Формула деления степеней: $a^p : a^q = a^{p-q}$.
Ответ: Чтобы разделить степени с одинаковым положительным основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя: $a^p : a^q = a^{p-q}$.