Номер 4.15, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.15, страница 129.

4.15 Пусть числа $a$ и $r$ таковы, что $0 < a < 1$, $r$ — рациональное число. Докажите, что если:

а) $r < 0$, то $a^r > 1$;

б) $r > 0$, то $0 < a^r < 1$.

а) Дано, что $0 < a < 1$ и $r$ — рациональное число, причем $r < 0$. Докажем, что $a^r > 1$. Так как $r$ — отрицательное рациональное число, представим его в виде $r = -s$, где $s$ — положительное рациональное число ($s > 0$). В свою очередь, $s$ можно представить в виде дроби $s = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Таким образом, $r = -\frac{m}{n}$. Исходное неравенство $a^r > 1$ принимает вид $a^{-\frac{m}{n}} > 1$. По свойству степеней, $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$. Неравенство можно переписать как $\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} > 1$. Так как $a > 0$, то и $a^{\frac{m}{n}}$ — положительное число, поэтому можно умножить обе части на него, сохранив знак неравенства: $1 > a^{\frac{m}{n}}$. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $a^{\frac{m}{n}} < 1$ (очевидно, что $a^{\frac{m}{n}} > 0$). Исходим из данного неравенства $0 < a < 1$. Так как функция возведения в натуральную степень $m$ является возрастающей для положительных чисел, то $a^m < 1^m$, то есть $a^m < 1$. Аналогично, функция извлечения натурального корня степени $n$ также является возрастающей, поэтому из $a^m < 1$ следует, что $\sqrt[n]{a^m} < \sqrt[n]{1}$, то есть $a^{\frac{m}{n}} < 1$. Мы доказали, что $a^{\frac{m}{n}}$ является числом, меньшим 1 (и большим 0). Следовательно, обратное к нему число $\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ будет больше 1. Это означает, что $a^r > 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Дано, что $0 < a < 1$ и $r$ — рациональное число, причем $r > 0$. Докажем, что $0 < a^r < 1$. Так как $r$ — положительное рациональное число, представим его в виде дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Нам нужно доказать, что $0 < a^{\frac{m}{n}} < 1$. Левая часть неравенства, $a^r > 0$, очевидна, так как основание $a$ положительно. Докажем правую часть: $a^r < 1$. Исходим из данного неравенства $0 < a < 1$. Так как функция возведения в натуральную степень $m$ является возрастающей для положительных чисел, то из $a < 1$ следует $a^m < 1^m$, то есть $a^m < 1$. Аналогично, функция извлечения натурального корня степени $n$ также является возрастающей, поэтому из $a^m < 1$ следует, что $\sqrt[n]{a^m} < \sqrt[n]{1}$, то есть $a^{\frac{m}{n}} < 1$. Таким образом, мы показали, что $a^r < 1$. Объединяя два результата, получаем $0 < a^r < 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.