Номер 4.21, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.21, страница 130.

4.21 Вычислите:

a) $(9^{- \frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{- \frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{- \frac{2}{3}})$;

б) $((5\sqrt{5})^{- \frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{- \frac{2}{3}} - 81^{- \frac{1}{4}})$.

а) $(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})$

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Для начала преобразуем член $\sqrt[4]{9^{-1}}$ во второй скобке, чтобы убедиться, что он совпадает с первым членом в первой скобке. Используя свойство степеней $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:

$\sqrt[4]{9^{-1}} = (9^{-1})^{\frac{1}{4}} = 9^{-1 \cdot \frac{1}{4}} = 9^{-\frac{1}{4}}$

Теперь выражение можно записать в виде:

$(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (9^{-\frac{1}{4}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})$

Применяем формулу разности квадратов:

$(9^{-\frac{1}{4}})^2 - ((2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})^2$

Вычислим каждый член по отдельности. Для первого члена используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(9^{-\frac{1}{4}})^2 = 9^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = 9^{-\frac{2}{4}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

Для второго члена сначала упростим основание степени $2\sqrt{2}$:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Теперь вычислим второй член:

$((2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})^2 = (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Наконец, найдем разность полученных значений:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$.

---

б) $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}})$

Это выражение, как и предыдущее, является произведением суммы и разности двух чисел. Снова применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Сначала убедимся, что вторые члены в скобках одинаковы. Преобразуем $\sqrt[4]{81^{-1}}$:

$\sqrt[4]{81^{-1}} = (81^{-1})^{\frac{1}{4}} = 81^{-\frac{1}{4}}$

Таким образом, вторые члены в скобках идентичны. Выражение принимает вид:

$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + 81^{-\frac{1}{4}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}})$

Применяем формулу разности квадратов:

$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}})^2 - (81^{-\frac{1}{4}})^2$

Вычислим каждый член по отдельности. Для первого члена упростим основание $5\sqrt{5}$:

$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$

Теперь вычислим первый член:

$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}})^2 = (5\sqrt{5})^{-\frac{4}{3}} = (5^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Вычислим второй член:

$(81^{-\frac{1}{4}})^2 = 81^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = 81^{-\frac{2}{4}} = 81^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{81^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{81}} = \frac{1}{9}$

Теперь найдем разность полученных значений:

$\frac{1}{25} - \frac{1}{9} = \frac{9 \cdot 1 - 25 \cdot 1}{225} = \frac{9-25}{225} = -\frac{16}{225}$

Ответ: $-\frac{16}{225}$.