Номер 4.26, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.26, страница 133.

4.26 Что значит, что переменная $x_n (n = 1, 2, 3, ...)$ имеет предел, равный числу $a$? Приведите примеры.

Выражение "переменная $x_n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) имеет предел, равный числу $a$" означает, что по мере неограниченного возрастания номера $n$, члены последовательности $x_n$ неограниченно приближаются к числу $a$. Это записывается как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.

Строгое определение (на языке "эпсилон-N"):

Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ (эпсилон) найдется такое натуральное число $N$ (зависящее от $\varepsilon$), что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:

$$ |x_n - a| < \varepsilon $$

Интуитивный и геометрический смысл:

Это определение формализует идею "бесконечного приближения". Неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ равносильно двойному неравенству $a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$. Геометрически это означает, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N+1$, попадают в так называемую $\varepsilon$-окрестность точки $a$, то есть в интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$.

Проще говоря, какую бы узкую горизонтальную "полосу" мы ни нарисовали вокруг линии $y=a$, почти все (все, кроме конечного числа) члены последовательности будут лежать внутри этой полосы. Мы можем сделать члены последовательности сколь угодно близкими к $a$, просто взяв достаточно большой номер $n$.

Примеры:

1. Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$. Ее предел равен 0, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

   С ростом $n$ члены последовательности $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ становятся все ближе и ближе к нулю. Для доказательства, согласно определению, для любого $\varepsilon > 0$ мы должны найти такое $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться $|x_n - 0| < \varepsilon$. Неравенство $|\frac{1}{n}| < \varepsilon$ равносильно $n > \frac{1}{\varepsilon}$. В качестве $N$ можно взять любое натуральное число, которое больше или равно $\frac{1}{\varepsilon}$, например $N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil$. Тогда для всех $n > N$ условие будет выполнено.

   Иллюстрация: если мы выберем $\varepsilon = 0.01$, то нам нужно $n > \frac{1}{0.01} = 100$. Мы можем взять $N=100$. Тогда все члены последовательности, начиная со 101-го ($x_{101}, x_{102}, \ldots$), будут находиться от 0 на расстоянии, меньшем чем 0.01.

2. Последовательность $x_n = \frac{2n+1}{n+1}$. Ее предел равен 2, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n+1} = 2$.

   Преобразуем выражение: $x_n = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}$. Интуитивно понятно, что при $n \to \infty$ дробь $\frac{1}{n+1}$ стремится к нулю, а значит $x_n$ стремится к 2. Для формального доказательства найдем модуль разности:

   $$ |x_n - 2| = |(2 - \frac{1}{n+1}) - 2| = |-\frac{1}{n+1}| = \frac{1}{n+1} $$

   Нам нужно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$ при $n > N$ выполнялось $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$. Это неравенство эквивалентно $n+1 > \frac{1}{\varepsilon}$, или $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$. В качестве $N$ можно выбрать любое натуральное число, большее или равное $\frac{1}{\varepsilon} - 1$.

   Иллюстрация: если $\varepsilon = 0.1$, то нам нужно $n > \frac{1}{0.1} - 1 = 9$. Можно взять $N=9$. Тогда для всех $n > 9$ (начиная с $n=10$) члены последовательности будут отличаться от 2 меньше, чем на 0.1.

3. Постоянная последовательность $x_n = 5$. Ее предел равен 5, $\lim_{n \to \infty} 5 = 5$.

   Здесь для любого $\varepsilon > 0$ неравенство $|x_n - 5| < \varepsilon$ принимает вид $|5 - 5| < \varepsilon$, то есть $0 < \varepsilon$. Это неравенство верно для любого положительного $\varepsilon$. Поэтому в качестве $N$ можно взять любое натуральное число, например $N=1$. Условие будет выполняться для всех $n > 1$.

Ответ: Утверждение, что переменная $x_n$ (числовая последовательность) имеет предел, равный числу $a$, означает, что члены последовательности $x_n$ можно сделать сколь угодно близкими к числу $a$, выбрав достаточно большой номер $n$. Формальное определение: для любого положительного числа $\varepsilon$ существует такое натуральное число $N$, что для всех номеров $n$, больших чем $N$, выполняется неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$. Примерами являются последовательности $x_n = \frac{1}{n}$, предел которой равен 0, и $x_n = \frac{2n+1}{n+1}$, предел которой равен 2.