Номер 4.19, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.2. Свойства степени с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.19, страница 130.

4.19 a) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} \cdot a^{-\frac{1}{8}}$;

б) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} : x^{-\frac{3}{16}}$.

а)

Для упрощения данного выражения представим корни в виде степеней с дробными показателями и воспользуемся свойствами степеней. Знак квадратного корня эквивалентен возведению в степень $\frac{1}{2}$.

Упростим выражение с вложенными корнями $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$, двигаясь изнутри наружу:

1. Сначала преобразуем самый внутренний корень: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

2. Подставим это в следующее выражение под корнем: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{1+\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}$.

3. Теперь извлечем из этого корень: $\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}$.

4. Подставим полученное выражение под самый внешний корень: $a\sqrt{a\sqrt{a}} = a \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{1+\frac{3}{4}} = a^{\frac{7}{4}}$.

5. Наконец, извлечем внешний корень: $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} = \sqrt{a^{\frac{7}{4}}} = (a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{8}}$.

Теперь, когда мы упростили первую часть выражения, выполним умножение, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} \cdot a^{-\frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8}} \cdot a^{-\frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8} - \frac{1}{8}} = a^{\frac{6}{8}} = a^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$

б)

Данное выражение упрощается аналогично предыдущему. Преобразуем вложенные корни в степени с дробными показателями.

Упростим выражение $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}$, двигаясь изнутри наружу:

1. Внутренний корень: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

2. Выражение под следующим корнем: $x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.

3. Извлекая корень, получаем: $\sqrt{x\sqrt{x}} = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$.

4. Следующее выражение под корнем: $x\sqrt{x\sqrt{x}} = x \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{1+\frac{3}{4}} = x^{\frac{7}{4}}$.

5. Извлекая корень: $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} = (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{8}}$.

6. Выражение под самым внешним корнем: $x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = x \cdot x^{\frac{7}{8}} = x^{1+\frac{7}{8}} = x^{\frac{15}{8}}$.

7. И, наконец, извлекая самый внешний корень: $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = \sqrt{x^{\frac{15}{8}}} = (x^{\frac{15}{8}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{15}{16}}$.

Теперь выполним деление, используя свойство степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$x^{\frac{15}{16}} : x^{-\frac{3}{16}} = x^{\frac{15}{16} - (-\frac{3}{16})} = x^{\frac{15}{16} + \frac{3}{16}} = x^{\frac{18}{16}} = x^{\frac{9}{8}}$.

Ответ: $x^{\frac{9}{8}}$