Номер 4.4, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1. Степень с рациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.4, страница 124.

4.4 а) $3^{\frac{2}{3}}$, $4^{\frac{3}{5}}$, $6^{\frac{2}{3}}$, $7^{\frac{5}{9}}$, $10^{0,6}$;

где $n \in N$, $m \in N$ и $n \geq 2$.

б) $a^{1\frac{2}{3}}$, $c^{1,4}$, $x^{\frac{1}{n}}$, $x^{\frac{n}{2}}$, $y^{\frac{m}{n}}$,

а)

Чтобы представить степень с рациональным показателем в виде корня, используется тождество $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $a > 0$, $m, n \in N, n \ge 2$).

$3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
Ответ: $\sqrt[3]{9}$.

$4^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{64}$.
Ответ: $\sqrt[5]{64}$.

$6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2} = \sqrt[3]{36}$.
Ответ: $\sqrt[3]{36}$.

$7^{\frac{5}{9}} = \sqrt[9]{7^5} = \sqrt[9]{16807}$.
Ответ: $\sqrt[9]{16807}$.

Для выражения $10^{0,6}$ сначала преобразуем показатель степени в обыкновенную дробь: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Тогда $10^{0,6} = 10^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}$.
Ответ: $\sqrt[5]{1000}$.

б)

Применяем то же тождество $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основания степеней ($a, c, x, y$) — положительные числа, а показатели $m, n$ удовлетворяют заданным условиям $m \in N, n \in N, n \ge 2$.

Для выражения $a^{1\frac{2}{3}}$ представим показатель в виде неправильной дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
Тогда $a^{1\frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^5}$.

Для выражения $c^{1,4}$ представим показатель в виде обыкновенной дроби: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Тогда $c^{1,4} = c^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{c^7}$.
Ответ: $\sqrt[5]{c^7}$.

$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x^1} = \sqrt[n]{x}$.
Ответ: $\sqrt[n]{x}$.

$x^{\frac{n}{2}} = \sqrt[2]{x^n} = \sqrt{x^n}$.
Ответ: $\sqrt{x^n}$.

$y^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{y^m}$.
Ответ: $\sqrt[n]{y^m}$.