Страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.1° a) Что называют степенью с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ положительного числа $a$?

б) Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.

а) Степенью положительного числа $a$ ($a>0$) с рациональным показателем $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}, q \ge 2$), называется число, которое равно корню $q$-ой степени из числа $a$, возведенного в степень $p$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^r = a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Например, вычислим $27^{\frac{2}{3}}$:

$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.

Также можно сначала извлечь корень, а потом возвести в степень: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$. Результат будет тем же.

Ответ: Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \ge 2$), называют число $\sqrt[q]{a^p}$.

б) В данном пункте, как правило, доказывается теорема о свойствах степени с рациональным показателем, которая является обобщением свойств степени с целым показателем.

Формулировка теоремы:

Для любых положительных чисел $a$, $b$ и для любых рациональных чисел $r_1$, $r_2$ справедливы следующие равенства:

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием: $a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1 - r_2}$

3. Возведение степени в степень: $(a^{r_1})^{r_2} = a^{r_1 \cdot r_2}$

4. Возведение в степень произведения: $(ab)^{r_1} = a^{r_1} b^{r_1}$

5. Возведение в степень частного (дроби): $(\frac{a}{b})^{r_1} = \frac{a^{r_1}}{b^{r_1}}$

Ответ: Теорема о свойствах степени с рациональным показателем: для любых $a > 0$, $b > 0$ и любых рациональных чисел $r_1$, $r_2$ верны равенства:
1) $a^{r_1} \cdot a^{r_2} = a^{r_1 + r_2}$;
2) $a^{r_1} : a^{r_2} = a^{r_1 - r_2}$;
3) $(a^{r_1})^{r_2} = a^{r_1 r_2}$;
4) $(ab)^{r_1} = a^{r_1}b^{r_1}$;
5) $(\frac{a}{b})^{r_1} = \frac{a^{r_1}}{b^{r_1}}$.

4.2 Запишите в виде степени с рациональным показателем¹:

а) $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{7} $, $ \sqrt{\frac{1}{3}} $, $ \sqrt{1 \frac{1}{3}}; $

б) $ \sqrt[3]{4} $, $ \sqrt[3]{7} $, $ \sqrt[3]{0,1} $, $ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} $, $ \sqrt[3]{2,5}; $

в) $ \sqrt[3]{2^2} $, $ \sqrt[4]{3^5} $, $ \sqrt[6]{7^5} $, $ \sqrt{3^7} $, $ \sqrt[5]{2^3}; $

г) $ \sqrt[4]{a^3} $, $ \sqrt[4]{a} $, $ \sqrt{x} $, $ \sqrt[3]{x^2} $, $ \sqrt{x^3}; $

д) $ \sqrt{2a} $, $ \sqrt[3]{3x} $, $ \sqrt[4]{5x^3} $, $ \sqrt{2xy^3} $, $ \sqrt[5]{8a^2b^3}; $

е) $ \sqrt{a - 1} $, $ \sqrt[3]{m + n} $, $ \sqrt[3]{(x + 1)^2} $, $ \sqrt[5]{(x - 4)^3}. $

Чтобы записать выражение с корнем в виде степени с рациональным показателем, используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $a \ge 0$, $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $m$ — целое число. Если показатель степени под корнем ($m$) не указан, он равен 1. Если показатель корня ($n$) не указан, это квадратный корень и $n=2$.

а)

В этом подпункте все выражения являются квадратными корнями ($n=2$) из числа ($m=1$).

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Для $\sqrt{1\frac{1}{3}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда:

$\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $2^{\frac{1}{2}}$; $5^{\frac{1}{2}}$; $7^{\frac{1}{2}}$; $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$; $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$.

б)

Здесь все выражения являются кубическими корнями ($n=3$) из числа ($m=1$).

$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{0,1} = (0,1)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{2,5} = (2,5)^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4^{\frac{1}{3}}$; $7^{\frac{1}{3}}$; $(0,1)^{\frac{1}{3}}$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$; $(2,5)^{\frac{1}{3}}$.

в)

Для преобразования этих выражений используется общая формула $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{3^5} = 3^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[6]{7^5} = 7^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt{3^7} = \sqrt[2]{3^7} = 3^{\frac{7}{2}}$

$\sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $2^{\frac{2}{3}}$; $3^{\frac{5}{4}}$; $7^{\frac{5}{6}}$; $3^{\frac{7}{2}}$; $2^{\frac{3}{5}}$.

г)

Применяем те же правила для выражений с переменными.

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$ (при $a \ge 0$)

$\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{a^1} = a^{\frac{1}{4}}$ (при $a \ge 0$)

$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}}$ (при $x \ge 0$)

$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{x^3} = \sqrt[2]{x^3} = x^{\frac{3}{2}}$ (при $x \ge 0$)

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$; $a^{\frac{1}{4}}$; $x^{\frac{1}{2}}$; $x^{\frac{2}{3}}$; $x^{\frac{3}{2}}$.

д)

Здесь подкоренное выражение рассматривается как единое основание степени.

$\sqrt{2a} = (2a)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{3x} = (3x)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{5x^3} = (5x^3)^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt{2xy^3} = (2xy^3)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{8a^2b^3} = (8a^2b^3)^{\frac{1}{5}}$

Ответ: $(2a)^{\frac{1}{2}}$; $(3x)^{\frac{1}{3}}$; $(5x^3)^{\frac{1}{4}}$; $(2xy^3)^{\frac{1}{2}}$; $(8a^2b^3)^{\frac{1}{5}}$.

е)

В данных выражениях основанием степени является выражение в скобках.

$\sqrt{a-1} = (a-1)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{m+n} = (m+n)^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[3]{(x+1)^2} = (x+1)^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{(x-4)^3} = (x-4)^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $(a-1)^{\frac{1}{2}}$; $(m+n)^{\frac{1}{3}}$; $(x+1)^{\frac{2}{3}}$; $(x-4)^{\frac{3}{5}}$.

Запишите в виде корней (4.3–4.5):

4.3 а) $a^{\frac{1}{2}}$, $a^{\frac{1}{3}}$, $b^{\frac{1}{4}}$, $(ac)^{\frac{1}{7}}$, $(kl)^{\frac{1}{20}}$;

б) $(x+1)^{\frac{1}{2}}$, $(a-b)^{\frac{7}{4}}$, $(m+3)^{\frac{1}{4}}$, $(x-y)^{\frac{1}{7}}$.

Для преобразования степени с рациональным показателем в корень используется основное свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a$ — это основание степени, $n$ — знаменатель дроби, который становится показателем корня, а $m$ — числитель дроби, который становится показателем степени подкоренного выражения. При этом для четных $n$ должно выполняться условие $a \ge 0$.

а)

Для выражения $a^{\frac{1}{2}}$: основание $a$, знаменатель показателя $n=2$ (что соответствует квадратному корню), числитель $m=1$.
$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{a}$.

Для выражения $a^{\frac{1}{3}}$: основание $a$, знаменатель $n=3$, числитель $m=1$.
$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^1} = \sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

Для выражения $b^{\frac{1}{4}}$: основание $b$, знаменатель $n=4$, числитель $m=1$.
$b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4]{b}$.
Ответ: $\sqrt[4]{b}$.

Для выражения $(ac)^{\frac{1}{7}}$: основание $ac$, знаменатель $n=7$, числитель $m=1$.
$(ac)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{(ac)^1} = \sqrt[7]{ac}$.
Ответ: $\sqrt[7]{ac}$.

Для выражения $(kl)^{\frac{1}{20}}$: основание $kl$, знаменатель $n=20$, числитель $m=1$.
$(kl)^{\frac{1}{20}} = \sqrt[20]{(kl)^1} = \sqrt[20]{kl}$.
Ответ: $\sqrt[20]{kl}$.

б)

Для выражения $(x+1)^{\frac{1}{2}}$: основание $(x+1)$, знаменатель $n=2$, числитель $m=1$.
$(x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{(x+1)^1} = \sqrt{x+1}$.
Ответ: $\sqrt{x+1}$.

Для выражения $(a-b)^{\frac{7}{4}}$: основание $(a-b)$, знаменатель $n=4$, числитель $m=7$.
$(a-b)^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{(a-b)^7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{(a-b)^7}$.

Для выражения $(m+3)^{\frac{1}{4}}$: основание $(m+3)$, знаменатель $n=4$, числитель $m=1$.
$(m+3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(m+3)^1} = \sqrt[4]{m+3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{m+3}$.

Для выражения $(x-y)^{\frac{1}{7}}$: основание $(x-y)$, знаменатель $n=7$, числитель $m=1$.
$(x-y)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{(x-y)^1} = \sqrt[7]{x-y}$.
Ответ: $\sqrt[7]{x-y}$.

4.4 а) $3^{\frac{2}{3}}$, $4^{\frac{3}{5}}$, $6^{\frac{2}{3}}$, $7^{\frac{5}{9}}$, $10^{0,6}$;

где $n \in N$, $m \in N$ и $n \geq 2$.

б) $a^{1\frac{2}{3}}$, $c^{1,4}$, $x^{\frac{1}{n}}$, $x^{\frac{n}{2}}$, $y^{\frac{m}{n}}$,

а)

Чтобы представить степень с рациональным показателем в виде корня, используется тождество $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $a > 0$, $m, n \in N, n \ge 2$).

$3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
Ответ: $\sqrt[3]{9}$.

$4^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{64}$.
Ответ: $\sqrt[5]{64}$.

$6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2} = \sqrt[3]{36}$.
Ответ: $\sqrt[3]{36}$.

$7^{\frac{5}{9}} = \sqrt[9]{7^5} = \sqrt[9]{16807}$.
Ответ: $\sqrt[9]{16807}$.

Для выражения $10^{0,6}$ сначала преобразуем показатель степени в обыкновенную дробь: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Тогда $10^{0,6} = 10^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}$.
Ответ: $\sqrt[5]{1000}$.

б)

Применяем то же тождество $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основания степеней ($a, c, x, y$) — положительные числа, а показатели $m, n$ удовлетворяют заданным условиям $m \in N, n \in N, n \ge 2$.

Для выражения $a^{1\frac{2}{3}}$ представим показатель в виде неправильной дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
Тогда $a^{1\frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^5}$.

Для выражения $c^{1,4}$ представим показатель в виде обыкновенной дроби: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Тогда $c^{1,4} = c^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{c^7}$.
Ответ: $\sqrt[5]{c^7}$.

$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x^1} = \sqrt[n]{x}$.
Ответ: $\sqrt[n]{x}$.

$x^{\frac{n}{2}} = \sqrt[2]{x^n} = \sqrt{x^n}$.
Ответ: $\sqrt{x^n}$.

$y^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{y^m}$.
Ответ: $\sqrt[n]{y^m}$.

4.5 a) $a^{-0,5}$, $b^{-\frac{2}{3}}$, $c^{-2,5}$, $x^{-0,5}$;

б) $(a^2-b)^{-\frac{1}{2}}$, $(x+2y)^{-0,75}$, $(1-2y)^{-\frac{2}{5}}$, $(m-n^2)^{-\frac{1}{n}}$,

где $n \in N$ и $n \geq 2$.

а)

Чтобы представить выражения с отрицательным показателем в виде дроби с корнем в знаменателе, воспользуемся двумя основными свойствами степеней:
1. Свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).
2. Определение степени с дробным (рациональным) показателем: $a^{\frac{m}{k}} = \sqrt[k]{a^m}$.

$a^{-0,5} = a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$

$b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$

$c^{-2,5} = c^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{c^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{c^5}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{c^5}}$

$x^{-0,5} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}}$

б)

Применяем те же свойства, что и в пункте а), рассматривая выражение в скобках как основание степени.

$(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(a^2 - b)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$

$(x + 2y)^{-0,75} = (x + 2y)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{(x + 2y)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x + 2y)^3}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{(x + 2y)^3}}$

$(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{(1 - 2y)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$

$(m - n^2)^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{(m - n^2)^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{m - n^2}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[n]{m - n^2}}$