Страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.96° Может ли быть рациональным числом корень степени n ($n \geq 2$):
a) из простого числа;
б) из натурального числа?

а)

Рассмотрим корень степени $n$ из простого числа $p$, где $n \geq 2$. Предположим, что это число является рациональным. То есть, $\sqrt[n]{p} = \frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, и дробь $\frac{a}{b}$ несократима (наибольший общий делитель $НОД(a,b)=1$).

Возведем обе части равенства в степень $n$:

$p = \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Отсюда получаем $p \cdot b^n = a^n$.

Из этого равенства следует, что $a^n$ делится на простое число $p$. Согласно лемме Евклида, если произведение нескольких сомножителей делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это простое число. Так как $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$, то $a$ должно делиться на $p$.

Значит, $a$ можно представить в виде $a = k \cdot p$ для некоторого натурального числа $k$.

Подставим это выражение для $a$ обратно в уравнение $p \cdot b^n = a^n$:

$p \cdot b^n = (k \cdot p)^n = k^n \cdot p^n$

Разделим обе части на $p$ (это возможно, так как $p$ — простое число, а значит $p \neq 0$):

$b^n = k^n \cdot p^{n-1}$

По условию $n \geq 2$, поэтому $n-1 \geq 1$. Это означает, что правая часть равенства делится на $p$. Следовательно, и левая часть $b^n$ также должна делиться на $p$.

Аналогично, применяя лемму Евклида к $b^n$, мы заключаем, что $b$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы получили, что и $a$, и $b$ делятся на $p$. Это означает, что их общий делитель не меньше $p$, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима ($НОД(a,b)=1$).

Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt[n]{p}$ является рациональным числом, неверно. Корень степени $n \geq 2$ из простого числа не может быть рациональным числом.

Ответ: нет.

б)

Рассмотрим корень степени $n$ из натурального числа $N$, где $n \geq 2$. Вопрос в том, может ли $\sqrt[n]{N}$ быть рациональным числом.

Общая теорема гласит, что если корень степени $n$ из натурального числа $N$ является рациональным числом, то он должен быть целым числом. Доказательство этого факта аналогично рассуждению из пункта а). Пусть $\sqrt[n]{N} = \frac{a}{b}$, где $\frac{a}{b}$ — несократимая дробь ($a, b \in \mathbb{N}, НОД(a,b)=1$). Тогда $N \cdot b^n = a^n$. Если предположить, что $b > 1$, то у $b$ есть простой делитель $p$. Тогда $p$ делит $b$, а значит $p$ делит $b^n$. Следовательно, $p$ делит $a^n$, и, по лемме Евклида, $p$ делит $a$. Это противоречит тому, что $НОД(a,b)=1$. Значит, предположение $b > 1$ неверно, и $b$ должно быть равно 1. Таким образом, если $\sqrt[n]{N}$ рационально, то оно обязано быть целым числом.

Теперь вопрос сводится к следующему: может ли $\sqrt[n]{N}$ быть целым числом? Да, это возможно. Это происходит в том и только в том случае, когда натуральное число $N$ является точной $n$-ой степенью некоторого натурального числа $k$.

То есть, если $N = k^n$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$, то $\sqrt[n]{N} = \sqrt[n]{k^n} = k$. А любое натуральное (и, следовательно, целое) число $k$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{k}{1}$.

Приведем примеры:

• При $n=2$ и $N=4$, $\sqrt[2]{4} = 2$. Число 2 — рациональное.
• При $n=3$ и $N=27$, $\sqrt[3]{27} = 3$. Число 3 — рациональное.
• При $n=4$ и $N=81$, $\sqrt[4]{81} = 3$. Число 3 — рациональное.

Поскольку существуют натуральные числа, корень n-ой степени из которых является рациональным числом (а именно, целым числом), то ответ на вопрос — да.

Ответ: да.

3.97 Что значит вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $^3\\sqrt{N}$, где N — простое число?

Выражение "вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $\sqrt[3]{N}$" означает найти наибольшее десятичное число $A$, имеющее ровно три знака после запятой, которое не превышает истинное значение $\sqrt[3]{N}$.

Формально, это задача нахождения такого числа $A$, которое можно представить в виде дроби $\frac{k}{1000}$ (где $k$ — целое число), и которое удовлетворяет следующему двойному неравенству:

$A \le \sqrt[3]{N} < A + 0.001$

Поскольку все части неравенства положительны, его можно возвести в куб, чтобы избавиться от иррациональности:

$A^3 \le (\sqrt[3]{N})^3 < (A + 0.001)^3$

$A^3 \le N < (A + 0.001)^3$

Таким образом, задача сводится к подбору такого числа $A$ с тремя знаками после запятой, куб которого меньше или равен $N$, но если к этому числу прибавить $0.001$, то куб нового числа станет строго больше $N$. Практически это эквивалентно тому, чтобы найти десятичное представление числа $\sqrt[3]{N}$ и отбросить (усечь) все цифры, начиная с четвертой после запятой.

Указание, что $N$ — простое число, подчеркивает, что $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным числом. Это означает, что его десятичное представление бесконечно и непериодично, и мы не можем записать его точно, поэтому вынуждены использовать приближения.

Рассмотрим пример вычисления для $N=11$:

Нам нужно найти число $A$ с тремя знаками после запятой такое, что $A^3 \le 11 < (A + 0.001)^3$.

1. Найдем целую часть. $2^3 = 8$, $3^3 = 27$. Значит, $2 < \sqrt[3]{11} < 3$. Целая часть равна 2.
2. Подбираем первый знак после запятой. $2.2^3 = 10.648$, $2.3^3 = 12.167$. Значит, $2.2 < \sqrt[3]{11} < 2.3$. Первый знак — 2.
3. Подбираем второй знак. $2.22^3 = 10.941048$, $2.23^3 = 11.085187$. Значит, $2.22 < \sqrt[3]{11} < 2.23$. Второй знак — 2.
4. Подбираем третий знак. Мы ищем наибольшее число $A$ вида $2.22d$, для которого $A^3 \le 11$.
   • Проверим $A=2.222$: $2.222^3 = 10.990901248$. Это меньше 11.
   • Проверим следующее значение, $A+0.001 = 2.223$: $2.223^3 = 11.002849667$. Это больше 11.

Мы нашли, что $2.222^3 \le 11$ и $2.223^3 > 11$. Это означает, что $2.222 \le \sqrt[3]{11} < 2.223$. Следовательно, наибольшее число с тремя знаками после запятой, которое не превосходит $\sqrt[3]{11}$, — это $2.222$.

Ответ: Вычислить $\sqrt[3]{N}$ с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) — это значит найти такое число $A$, которое имеет вид $a,d_1d_2d_3$ (целая часть и три десятичных знака), что выполняется неравенство $A \le \sqrt[3]{N} < A + 0.001$.

3.98 Если натуральное число N не есть куб натурального числа, то является ли число $\sqrt[3]{N}$ иррациональным?

Да, утверждение верно. Если натуральное число $N$ не является кубом натурального числа, то число $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным. Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Предположим, что $\sqrt[3]{N}$ — рациональное число. По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное, и наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$. Так как $N$ — натуральное число, $\sqrt[3]{N} > 0$, поэтому можно считать, что $p$ также является натуральным числом.

Итак, пусть $\sqrt[3]{N} = \frac{p}{q}$, где $p, q \in \mathbb{N}$ и НОД$(p, q) = 1$.

Возведем обе части этого равенства в куб:

$(\sqrt[3]{N})^3 = \left(\frac{p}{q}\right)^3$

$N = \frac{p^3}{q^3}$

Выразим $p^3$, умножив обе части на $q^3$:

$N \cdot q^3 = p^3$

Из этого равенства следует, что произведение $N \cdot q^3$ равно $p^3$. Это означает, что $p^3$ делится на $q^3$ (поскольку $N = p^3/q^3$ должно быть целым, так как N - натуральное число).

По нашему предположению, числа $p$ и $q$ являются взаимно простыми. Это свойство сохраняется и при возведении в степень: если $p$ и $q$ не имеют общих простых делителей, то и $p^3$ и $q^3$ также не будут иметь общих простых делителей. Таким образом, $p^3$ и $q^3$ тоже взаимно просты, то есть НОД$(p^3, q^3) = 1$.

Мы имеем ситуацию, когда число $p^3$ делится на взаимно простое с ним число $q^3$. Это возможно только в одном случае: если делитель равен 1. Следовательно, $q^3 = 1$.

Так как $q$ — натуральное число, из уравнения $q^3 = 1$ следует, что $q = 1$.

Теперь подставим $q=1$ в наше исходное предположение:

$\sqrt[3]{N} = \frac{p}{1} = p$

Это означает, что $\sqrt[3]{N}$ является натуральным числом $p$. Возведя это равенство в куб, мы получаем:

$N = p^3$

Этот результат говорит о том, что $N$ является кубом натурального числа $p$. Однако это прямо противоречит условию задачи, согласно которому "натуральное число $N$ не есть куб натурального числа".

Поскольку наше первоначальное предположение (что $\sqrt[3]{N}$ — рациональное число) привело к противоречию, оно неверно.

Ответ: Да, число $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным.

3.99 Имеются ли среди натуральных чисел от 100 до 200 четвёртые степени каких-либо натуральных чисел?

Задача состоит в том, чтобы определить, существует ли натуральное число $n$ (то есть $n$ из множества $\{1, 2, 3, ...\}$), четвёртая степень которого ($n^4$) лежит в пределах от 100 до 200 включительно. Это условие можно записать в виде двойного неравенства:

$100 \le n^4 \le 200$

Для проверки этого условия рассмотрим последовательные натуральные числа и их четвёртые степени:

• Если $n = 1$, то $n^4 = 1^4 = 1$. Это значение меньше 100.
• Если $n = 2$, то $n^4 = 2^4 = 16$. Это значение также меньше 100.
• Если $n = 3$, то $n^4 = 3^4 = 81$. Это значение меньше 100.
• Если $n = 4$, то $n^4 = 4^4 = 256$. Это значение уже больше 200.

Мы видим, что $3^4 = 81$, что меньше 100, а для следующего натурального числа, $n=4$, его четвёртая степень, $4^4 = 256$, превышает 200. Поскольку функция $f(n) = n^4$ является строго возрастающей для положительных $n$, не может быть натурального числа между 3 и 4, и для любого $n > 4$ значение $n^4$ будет ещё больше 256.

Следовательно, не существует натурального числа, четвёртая степень которого находилась бы в заданном диапазоне.

Ответ: нет, среди натуральных чисел от 100 до 200 четвёртых степеней каких-либо натуральных чисел не имеется.

3.100 Является ли кубом натурального числа:

a) $0$;

б) $1$;

в) $-8$;

г) $1000$?

а) Для того чтобы число было кубом натурального числа, необходимо, чтобы существовало натуральное число $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), при возведении которого в третью степень получалось бы заданное число. Проверим число 0. Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что $n^3 = 0$. Единственным числом, куб которого равен нулю, является сам ноль ($0^3 = 0$). Однако, согласно стандартному определению, 0 не является натуральным числом. Следовательно, 0 не является кубом натурального числа.
Ответ: нет.

б) Проверим число 1. Ищем натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $n^3 = 1$. Решением данного уравнения является $n = \sqrt[3]{1} = 1$. Число 1 является натуральным, поэтому 1 — это куб натурального числа.
Ответ: да.

в) Проверим число -8. Ищем натуральное число $n$ такое, что $n^3 = -8$. Все натуральные числа являются положительными. Куб любого положительного числа также всегда будет положительным ($n^3 > 0$ при $n > 0$). Так как число -8 отрицательное, оно не может быть кубом натурального числа. (Стоит отметить, что -8 является кубом целого, но не натурального, числа -2, поскольку $(-2)^3 = -8$).
Ответ: нет.

г) Проверим число 1000. Ищем натуральное число $n$ такое, что $n^3 = 1000$. Чтобы найти $n$, извлечем кубический корень из 1000: $n = \sqrt[3]{1000} = 10$. Число 10 является натуральным. Таким образом, 1000 является кубом натурального числа 10.
Ответ: да.

3.101 Докажите, что не существует рационального числа, куб которого равен:

а) $2$;

б) $3$;

в) $4$;

г) $5$.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся общим методом — доказательством от противного. Мы предположим, что искомое рациональное число существует, и покажем, что это предположение приводит к противоречию. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 2.Запишем это в виде уравнения: $(\frac{p}{q})^3 = 2$.Преобразуем уравнение: $\frac{p^3}{q^3} = 2$, откуда $p^3 = 2q^3$.Из этого равенства следует, что $p^3$ является чётным числом (так как оно равно $2q^3$). Если куб целого числа чётен, то и само число чётно. Следовательно, $p$ — чётное число.Раз $p$ — чётное, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.Подставим это выражение для $p$ обратно в уравнение:$(2k)^3 = 2q^3$$8k^3 = 2q^3$Разделим обе части уравнения на 2:$4k^3 = q^3$Из нового равенства следует, что $q^3$ делится на 4, а значит, является чётным числом. Следовательно, само число $q$ также должно быть чётным.Таким образом, мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ являются чётными числами. Это означает, что они имеют общий делитель 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть НОД$(p, q) = 1$).Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 2.

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 3.Запишем уравнение: $(\frac{p}{q})^3 = 3$.Это эквивалентно уравнению $p^3 = 3q^3$.Из этого уравнения следует, что $p^3$ делится на 3. Поскольку 3 — простое число, то если куб целого числа делится на 3, то и само число должно делиться на 3. Значит, $p$ кратно 3.Представим $p$ в виде $p = 3k$ для некоторого целого $k$.Подставим в наше уравнение:$(3k)^3 = 3q^3$$27k^3 = 3q^3$Разделим обе части на 3:$9k^3 = q^3$Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 9, а значит, делится и на 3. Так как 3 — простое число, то и $q$ должно делиться на 3.Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3, то есть имеют общий делитель 3. Это противоречит условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая (НОД$(p, q) = 1$).Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 3.

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 4.Запишем уравнение: $(\frac{p}{q})^3 = 4$.Это приводит к уравнению $p^3 = 4q^3$.Из этого уравнения следует, что $p^3$ делится на 4, а значит, является чётным числом. Если куб числа чётен, то и само число чётно. Значит, $p$ — чётное число.Представим $p$ в виде $p = 2k$ для некоторого целого $k$.Подставим это в уравнение:$(2k)^3 = 4q^3$$8k^3 = 4q^3$Разделим обе части на 4:$2k^3 = q^3$Это уравнение показывает, что $q^3$ является чётным числом (делится на 2). Следовательно, $q$ также является чётным числом.Мы снова пришли к выводу, что и $p$, и $q$ — чётные числа и имеют общий делитель 2. Это противоречит нашему условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая.Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 4.

Предположим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (где НОД$(p, q) = 1$), куб которого равен 5.Запишем уравнение: $(\frac{p}{q})^3 = 5$.Это приводит к уравнению $p^3 = 5q^3$.Из этого уравнения видно, что $p^3$ делится на 5. Поскольку 5 — простое число, то если куб числа делится на 5, то и само число делится на 5. Значит, $p$ кратно 5.Представим $p$ в виде $p = 5k$ для некоторого целого $k$.Подставим это в уравнение:$(5k)^3 = 5q^3$$125k^3 = 5q^3$Разделим обе части на 5:$25k^3 = q^3$Из этого следует, что $q^3$ делится на 25, а значит, делится и на 5. Так как 5 — простое число, то и $q$ должно делиться на 5.Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 5, то есть имеют общий делитель 5. Это противоречит условию, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая (НОД$(p, q) = 1$).Противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует рационального числа, куб которого равен 5.

3.102 Докажите иррациональность числа:

а) $ \sqrt[3]{2}; $

б) $ \sqrt[3]{p}, $ где p — простое число.

a) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{2}$ методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{2}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in \mathbb{Z}$), $n$ – натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), и эта дробь является несократимой, то есть наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ равен 1 (НОД(m, n) = 1).

Запишем равенство: $\sqrt[3]{2} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{m}{n})^3$

$2 = \frac{m^3}{n^3}$

Отсюда следует, что $m^3 = 2n^3$.

Из этого равенства видно, что $m^3$ является четным числом (так как оно равно произведению $2$ и $n^3$). Если куб целого числа является четным, то и само число должно быть четным. (Действительно, если бы $m$ было нечетным, то и $m^3 = m \cdot m \cdot m$ было бы нечетным). Следовательно, $m$ – четное число.

Раз $m$ – четное, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ – некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = 2n^3$:

$(2k)^3 = 2n^3$

$8k^3 = 2n^3$

Разделим обе части на 2:

$4k^3 = n^3$, или $n^3 = 2(2k^3)$.

Из последнего равенства следует, что $n^3$ также является четным числом. Аналогично предыдущим рассуждениям, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно быть четным.

Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и их общий делитель отличен от 1. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{2}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

б) Докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, методом от противного. Пункт а) является частным случаем этого доказательства при $p=2$.

Предположим, что число $\sqrt[3]{p}$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ и НОД(m, n) = 1.

Запишем равенство: $\sqrt[3]{p} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в куб:

$(\sqrt[3]{p})^3 = (\frac{m}{n})^3$

$p = \frac{m^3}{n^3}$

Отсюда следует, что $m^3 = pn^3$.

Из этого равенства видно, что $m^3$ делится на простое число $p$. Согласно свойству простых чисел (если простое число $p$ делит произведение $a \cdot b$, то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$), если $p$ делит $m^3 = m \cdot m \cdot m$, то $p$ должно делить и само число $m$.

Раз $m$ делится на $p$, его можно представить в виде $m = pk$, где $k$ – некоторое целое число.

Подставим это выражение для $m$ в уравнение $m^3 = pn^3$:

$(pk)^3 = pn^3$

$p^3k^3 = pn^3$

Так как $p$ – простое число, то $p \neq 0$. Разделим обе части на $p$:

$p^2k^3 = n^3$, или $n^3 = p(pk^3)$.

Из последнего равенства следует, что $n^3$ также делится на $p$. Рассуждая аналогично, мы приходим к выводу, что и само число $n$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы получили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ делятся на простое число $p$. Это означает, что их общий делитель не равен 1, а как минимум равен $p$. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{p}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{p}$, где $p$ – простое число, является иррациональным, что и требовалось доказать.

3.103 Является ли рациональным число:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt[3]{64}$;

в) $\sqrt[3]{5}$;

г) $\sqrt[4]{64}$?

Для того чтобы определить, является ли число рациональным, необходимо проверить, можно ли его представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Корень $k$-ой степени из натурального числа является рациональным числом тогда и только тогда, когда подкоренное число является точной $k$-ой степенью некоторого натурального числа.

Рассмотрим число $\sqrt{4}$. Необходимо найти такое число, квадрат которого равен 4. Таким числом является 2, поскольку $2^2 = 4$. Число 2 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $2 = \frac{2}{1}$.

Ответ: да, является.

Рассмотрим число $\sqrt[3]{64}$. Необходимо найти такое число, куб которого равен 64. Таким числом является 4, поскольку $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Число 4 является целым, следовательно, оно является и рациональным числом ($4 = \frac{4}{1}$).

Ответ: да, является.

Рассмотрим число $\sqrt[3]{5}$. Проверим, является ли 5 точной третьей (кубической) степенью какого-либо целого числа. $1^3 = 1$, а $2^3 = 8$. Так как $1 < 5 < 8$, не существует целого числа, куб которого равен 5. Следовательно, $\sqrt[3]{5}$ не является целым числом. Согласно свойству корней, если корень $k$-ой степени из натурального числа не является натуральным числом, то он является иррациональным числом. Таким образом, $\sqrt[3]{5}$ — иррациональное число.

Ответ: нет, не является.

Рассмотрим число $\sqrt[4]{64}$. Проверим, является ли 64 точной четвертой степенью какого-либо целого числа. $2^4 = 16$, а $3^4 = 81$. Так как $16 < 64 < 81$, не существует целого числа, четвертая степень которого равна 64. Следовательно, число $\sqrt[4]{64}$ является иррациональным. Выражение можно упростить: $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{8^2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то и произведение $2\sqrt{2}$ также является иррациональным.

Ответ: нет, не является.

3.104 Для каждого из чисел 7; 10; 17 найдите:

а) наибольшее натуральное число, куб которого меньше данного числа;

б) наименьшее натуральное число, куб которого больше данного числа;

в) наибольшее натуральное число, четвёртая степень которого меньше данного числа;

г) наименьшее натуральное число, четвёртая степень которого больше данного числа.

Для числа 7:

а) Нам нужно найти наибольшее натуральное число $n$, такое что $n^3 < 7$. Проверим натуральные числа по порядку: $1^3 = 1$, что меньше 7. Следующее натуральное число 2 в кубе дает $2^3 = 8$, что больше 7. Следовательно, наибольшее натуральное число, куб которого меньше 7, это 1. Ответ: 1

б) Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, такое что $n^3 > 7$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $1^3 < 7$, а $2^3 > 7$. Следовательно, наименьшее натуральное число, куб которого больше 7, это 2. Ответ: 2

в) Нам нужно найти наибольшее натуральное число $n$, такое что $n^4 < 7$. Проверим натуральные числа по порядку: $1^4 = 1$, что меньше 7. Следующее натуральное число 2 в четвертой степени дает $2^4 = 16$, что больше 7. Следовательно, наибольшее натуральное число, четвертая степень которого меньше 7, это 1. Ответ: 1

г) Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, такое что $n^4 > 7$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $1^4 < 7$, а $2^4 > 7$. Следовательно, наименьшее натуральное число, четвертая степень которого больше 7, это 2. Ответ: 2

Для числа 10:

а) Ищем наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^3 < 10$. Проверяем значения: $1^3 = 1 < 10$; $2^3 = 8 < 10$; $3^3 = 27 > 10$. Наибольшим натуральным числом, удовлетворяющим условию, является 2. Ответ: 2

б) Ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^3 > 10$. Из предыдущих вычислений мы знаем, что $2^3 < 10$, а $3^3 > 10$. Значит, наименьшее искомое число - это 3. Ответ: 3

в) Ищем наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 < 10$. Проверяем значения: $1^4 = 1 < 10$; $2^4 = 16 > 10$. Наибольшим натуральным числом, удовлетворяющим условию, является 1. Ответ: 1

г) Ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 > 10$. Из предыдущих вычислений мы знаем, что $1^4 < 10$, а $2^4 > 10$. Значит, наименьшее искомое число - это 2. Ответ: 2

Для числа 17:

а) Ищем наибольшее натуральное число $n$, для которого $n^3 < 17$. Проверяем: $1^3 = 1 < 17$; $2^3 = 8 < 17$; $3^3 = 27 > 17$. Наибольшим таким числом является 2. Ответ: 2

б) Ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого $n^3 > 17$. Из предыдущих вычислений: $2^3 < 17$ и $3^3 > 17$. Наименьшим таким числом является 3. Ответ: 3

в) Ищем наибольшее натуральное число $n$, для которого $n^4 < 17$. Проверяем: $1^4 = 1 < 17$; $2^4 = 16 < 17$; $3^4 = 81 > 17$. Наибольшим таким числом является 2. Ответ: 2

г) Ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого $n^4 > 17$. Из предыдущих вычислений: $2^4 < 17$ и $3^4 > 17$. Наименьшим таким числом является 3. Ответ: 3