Номер 3.99, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.9*. Корень степени n из натурального числа. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.99, страница 121.

3.99 Имеются ли среди натуральных чисел от 100 до 200 четвёртые степени каких-либо натуральных чисел?

Задача состоит в том, чтобы определить, существует ли натуральное число $n$ (то есть $n$ из множества $\{1, 2, 3, ...\}$), четвёртая степень которого ($n^4$) лежит в пределах от 100 до 200 включительно. Это условие можно записать в виде двойного неравенства:

$100 \le n^4 \le 200$

Для проверки этого условия рассмотрим последовательные натуральные числа и их четвёртые степени:

• Если $n = 1$, то $n^4 = 1^4 = 1$. Это значение меньше 100.
• Если $n = 2$, то $n^4 = 2^4 = 16$. Это значение также меньше 100.
• Если $n = 3$, то $n^4 = 3^4 = 81$. Это значение меньше 100.
• Если $n = 4$, то $n^4 = 4^4 = 256$. Это значение уже больше 200.

Мы видим, что $3^4 = 81$, что меньше 100, а для следующего натурального числа, $n=4$, его четвёртая степень, $4^4 = 256$, превышает 200. Поскольку функция $f(n) = n^4$ является строго возрастающей для положительных $n$, не может быть натурального числа между 3 и 4, и для любого $n > 4$ значение $n^4$ будет ещё больше 256.

Следовательно, не существует натурального числа, четвёртая степень которого находилась бы в заданном диапазоне.

Ответ: нет, среди натуральных чисел от 100 до 200 четвёртых степеней каких-либо натуральных чисел не имеется.