Номер 3.97, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.9*. Корень степени n из натурального числа - номер 3.97, страница 121.

Условие.

3.97 Что значит вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $^3\\sqrt{N}$, где N — простое число?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Выражение "вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $\sqrt[3]{N}$" означает найти наибольшее десятичное число $A$, имеющее ровно три знака после запятой, которое не превышает истинное значение $\sqrt[3]{N}$.

Формально, это задача нахождения такого числа $A$, которое можно представить в виде дроби $\frac{k}{1000}$ (где $k$ — целое число), и которое удовлетворяет следующему двойному неравенству:

$A \le \sqrt[3]{N} < A + 0.001$

Поскольку все части неравенства положительны, его можно возвести в куб, чтобы избавиться от иррациональности:

$A^3 \le (\sqrt[3]{N})^3 < (A + 0.001)^3$

$A^3 \le N < (A + 0.001)^3$

Таким образом, задача сводится к подбору такого числа $A$ с тремя знаками после запятой, куб которого меньше или равен $N$, но если к этому числу прибавить $0.001$, то куб нового числа станет строго больше $N$. Практически это эквивалентно тому, чтобы найти десятичное представление числа $\sqrt[3]{N}$ и отбросить (усечь) все цифры, начиная с четвертой после запятой.

Указание, что $N$ — простое число, подчеркивает, что $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным числом. Это означает, что его десятичное представление бесконечно и непериодично, и мы не можем записать его точно, поэтому вынуждены использовать приближения.

Рассмотрим пример вычисления для $N=11$:

Нам нужно найти число $A$ с тремя знаками после запятой такое, что $A^3 \le 11 < (A + 0.001)^3$.

1. Найдем целую часть. $2^3 = 8$, $3^3 = 27$. Значит, $2 < \sqrt[3]{11} < 3$. Целая часть равна 2.
2. Подбираем первый знак после запятой. $2.2^3 = 10.648$, $2.3^3 = 12.167$. Значит, $2.2 < \sqrt[3]{11} < 2.3$. Первый знак — 2.
3. Подбираем второй знак. $2.22^3 = 10.941048$, $2.23^3 = 11.085187$. Значит, $2.22 < \sqrt[3]{11} < 2.23$. Второй знак — 2.
4. Подбираем третий знак. Мы ищем наибольшее число $A$ вида $2.22d$, для которого $A^3 \le 11$.
   • Проверим $A=2.222$: $2.222^3 = 10.990901248$. Это меньше 11.
   • Проверим следующее значение, $A+0.001 = 2.223$: $2.223^3 = 11.002849667$. Это больше 11.

Мы нашли, что $2.222^3 \le 11$ и $2.223^3 > 11$. Это означает, что $2.222 \le \sqrt[3]{11} < 2.223$. Следовательно, наибольшее число с тремя знаками после запятой, которое не превосходит $\sqrt[3]{11}$, — это $2.222$.

Ответ: Вычислить $\sqrt[3]{N}$ с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) — это значит найти такое число $A$, которое имеет вид $a,d_1d_2d_3$ (целая часть и три десятичных знака), что выполняется неравенство $A \le \sqrt[3]{N} < A + 0.001$.