Номер 3.90, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8*. Функция y=корень n-ой степени из x. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.90, страница 119.

3.90 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = \sqrt[5]{x}$;

в) $y = \sqrt[7]{x}$.

Для построения графиков функций вида $y = \sqrt[n]{x}$ с нечетным показателем корня $n$, проанализируем их общие свойства, так как все три предложенные функции относятся к этому типу.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: Все эти функции являются нечетными, поскольку $y(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x} = -y(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно начала координат $(0, 0)$.
• Монотонность: Функции являются возрастающими на всей своей области определения.
• Ключевые точки: Все графики проходят через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
• Поведение: С увеличением нечетного показателя $n$, график функции для $|x| > 1$ становится более пологим (приближается к оси Ox), а для $|x| < 1$ становится более крутым (приближается к оси Oy). Во всех случаях график имеет вертикальную касательную в точке $(0,0)$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это функция кубического корня. Для построения графика составим таблицу значений, выбирая для $x$ числа, являющиеся точными кубами.

$x$	-8	-1	0	1	8
$y$	-2	-1	0	1	2

Построение: Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Учитываем, что график симметричен относительно начала координат. В первой четверти он похож на ветвь параболы $x=y^3$. Аналогично, в третьей четверти график является ее отражением относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат и проходящая, в частности, через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(8, 2)$.

б) $y = \sqrt[5]{x}$

Это функция корня пятой степени. Ее свойства аналогичны кубическому корню. Составим таблицу значений, используя числа, являющиеся точными пятыми степенями.

$x$	-32	-1	0	1	32
$y$	-2	-1	0	1	2

Построение: Построим график, соединив указанные точки плавной линией. По сравнению с графиком $y = \sqrt[3]{x}$, этот график будет лежать ниже на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ (ближе к оси Ox) и выше на промежутках $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ (ближе к оси Oy).

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-32, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(32, 2)$ и более "прижатая" к осям координат, чем график кубического корня.

в) $y = \sqrt[7]{x}$

Это функция корня седьмой степени. Свойства аналогичны предыдущим. Составим таблицу значений, используя числа, являющиеся точными седьмыми степенями.

$x$	-128	-1	0	1	128
$y$	-2	-1	0	1	2

Построение: График этой функции еще сильнее "прижат" к оси Ox при $|x| > 1$ и к оси Oy при $|x| < 1$ по сравнению с графиками корней меньших нечетных степеней. Соединяем точки из таблицы плавной кривой с учетом симметрии.

Ответ: График функции $y = \sqrt[7]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-128, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(128, 2)$ и являющаяся самой "пологой" из трех при $|x|>1$.