Номер 3.86, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.7*. Функция y=корень n-ой степени из x (x больше или равен 0) - номер 3.86, страница 117.

Условие.

3.86 Постройте график функции $y = \sqrt[4]{x}$. С его помощью найдите,

при каких $x$ справедливо неравенство:

a) $x^4 > 1$;

б) $x^4 < 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сначала построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем несколько ключевых точек для построения графика: при $x = 0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$ (точка (0; 0)); при $x = 1$, $y = \sqrt[4]{1} = 1$ (точка (1; 1)); при $x = 16$, $y = \sqrt[4]{16} = 2$ (точка (16; 2)).

График функции представляет собой ветвь параболы, которая является симметричной графику функции $y = x^4$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. График начинается в точке (0; 0) и плавно возрастает, проходя через (1; 1) и (16; 2). Он расположен в первой координатной четверти.

Из построенного графика видно, что функция $y = \sqrt[4]{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых $a > b \ge 0$ справедливо $\sqrt[4]{a} > \sqrt[4]{b}$. Это свойство мы и используем для решения неравенств.

---

а) $x^4 > 1$

Преобразуем данное неравенство. Так как обе его части ($x^4$ и 1) неотрицательны, мы можем извлечь из них корень четвертой степени. Поскольку функция корня четвертой степени является возрастающей (что мы установили с помощью графика), знак неравенства при этом не изменится.

$\sqrt[4]{x^4} > \sqrt[4]{1}$

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем:

$|x| > 1$

Неравенство с модулем $|x| > 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > 1$ или $x < -1$.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

---

б) $x^4 < 1$

Будем решать это неравенство аналогично предыдущему. Заметим, что $x^4$ не может быть отрицательным, поэтому $0 \le x^4 < 1$. Извлечем корень четвертой степени из обеих частей неравенства. Так как функция $y = \sqrt[4]{t}$ возрастающая, знак неравенства сохранится.

$\sqrt[4]{x^4} < \sqrt[4]{1}$

Применяя свойство $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, получаем:

$|x| < 1$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1 < x < 1$

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.