Номер 3.86, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
3.7*. Функция y=корень n-ой степени из x (x больше или равен 0). § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.86, страница 117.
№3.86 (с. 117)
Условие. №3.86 (с. 117)
скриншот условия

3.86 Постройте график функции $y = \sqrt[4]{x}$. С его помощью найдите,
при каких $x$ справедливо неравенство:
a) $x^4 > 1$;
б) $x^4 < 1$.
Решение 1. №3.86 (с. 117)


Решение 2. №3.86 (с. 117)

Решение 3. №3.86 (с. 117)

Решение 4. №3.86 (с. 117)

Решение 5. №3.86 (с. 117)
Сначала построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.
Найдем несколько ключевых точек для построения графика: при $x = 0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$ (точка (0; 0)); при $x = 1$, $y = \sqrt[4]{1} = 1$ (точка (1; 1)); при $x = 16$, $y = \sqrt[4]{16} = 2$ (точка (16; 2)).
График функции представляет собой ветвь параболы, которая является симметричной графику функции $y = x^4$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. График начинается в точке (0; 0) и плавно возрастает, проходя через (1; 1) и (16; 2). Он расположен в первой координатной четверти.
Из построенного графика видно, что функция $y = \sqrt[4]{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых $a > b \ge 0$ справедливо $\sqrt[4]{a} > \sqrt[4]{b}$. Это свойство мы и используем для решения неравенств.
а) $x^4 > 1$
Преобразуем данное неравенство. Так как обе его части ($x^4$ и 1) неотрицательны, мы можем извлечь из них корень четвертой степени. Поскольку функция корня четвертой степени является возрастающей (что мы установили с помощью графика), знак неравенства при этом не изменится.
$\sqrt[4]{x^4} > \sqrt[4]{1}$
Используя свойство корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем:
$|x| > 1$
Неравенство с модулем $|x| > 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > 1$ или $x < -1$.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
б) $x^4 < 1$
Будем решать это неравенство аналогично предыдущему. Заметим, что $x^4$ не может быть отрицательным, поэтому $0 \le x^4 < 1$. Извлечем корень четвертой степени из обеих частей неравенства. Так как функция $y = \sqrt[4]{t}$ возрастающая, знак неравенства сохранится.
$\sqrt[4]{x^4} < \sqrt[4]{1}$
Применяя свойство $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, получаем:
$|x| < 1$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 < x < 1$
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.86 расположенного на странице 117 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.86 (с. 117), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.