Номер 3.86, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

3.7*. Функция y=корень n-ой степени из x (x больше или равен 0). § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.86, страница 117.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№3.86 (с. 117)
Условие. №3.86 (с. 117)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 117, номер 3.86, Условие

3.86 Постройте график функции $y = \sqrt[4]{x}$. С его помощью найдите,

при каких $x$ справедливо неравенство:

a) $x^4 > 1$;

б) $x^4 < 1$.

Решение 1. №3.86 (с. 117)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 117, номер 3.86, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 117, номер 3.86, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №3.86 (с. 117)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 117, номер 3.86, Решение 2
Решение 3. №3.86 (с. 117)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 117, номер 3.86, Решение 3
Решение 4. №3.86 (с. 117)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 117, номер 3.86, Решение 4
Решение 5. №3.86 (с. 117)

Сначала построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$.

Найдем несколько ключевых точек для построения графика: при $x = 0$, $y = \sqrt[4]{0} = 0$ (точка (0; 0)); при $x = 1$, $y = \sqrt[4]{1} = 1$ (точка (1; 1)); при $x = 16$, $y = \sqrt[4]{16} = 2$ (точка (16; 2)).

График функции представляет собой ветвь параболы, которая является симметричной графику функции $y = x^4$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. График начинается в точке (0; 0) и плавно возрастает, проходя через (1; 1) и (16; 2). Он расположен в первой координатной четверти.

Из построенного графика видно, что функция $y = \sqrt[4]{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых $a > b \ge 0$ справедливо $\sqrt[4]{a} > \sqrt[4]{b}$. Это свойство мы и используем для решения неравенств.


а) $x^4 > 1$

Преобразуем данное неравенство. Так как обе его части ($x^4$ и 1) неотрицательны, мы можем извлечь из них корень четвертой степени. Поскольку функция корня четвертой степени является возрастающей (что мы установили с помощью графика), знак неравенства при этом не изменится.

$\sqrt[4]{x^4} > \sqrt[4]{1}$

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем:

$|x| > 1$

Неравенство с модулем $|x| > 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > 1$ или $x < -1$.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.


б) $x^4 < 1$

Будем решать это неравенство аналогично предыдущему. Заметим, что $x^4$ не может быть отрицательным, поэтому $0 \le x^4 < 1$. Извлечем корень четвертой степени из обеих частей неравенства. Так как функция $y = \sqrt[4]{t}$ возрастающая, знак неравенства сохранится.

$\sqrt[4]{x^4} < \sqrt[4]{1}$

Применяя свойство $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, получаем:

$|x| < 1$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1 < x < 1$

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.86 расположенного на странице 117 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.86 (с. 117), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться