Номер 3.80, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.80, страница 114.

3.80 Запишите в виде корней одной и той же степени три числа:

а) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$;

б) $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$.

а)

Чтобы записать числа $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$ в виде корней одной и той же степени, необходимо привести их к общему показателю корня. Показатели корней у данных чисел — 3, 2 (у квадратного корня) и 6.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для этих показателей:

НОК(3, 2, 6) = 6.

Следовательно, нужно привести все три корня к 6-й степени. Для этого используем основное свойство корня: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$, где показатель корня и степень подкоренного выражения умножаются на одно и то же натуральное число $k$.

1. Для числа $\sqrt[3]{3}$:
Чтобы получить показатель 6 из 3, нужно домножить его на 2 ($k=2$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 2.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.

2. Для числа $\sqrt{2}$:
Показатель квадратного корня равен 2. Чтобы получить показатель 6, нужно домножить его на 3 ($k=3$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 3.
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.

3. Для числа $\sqrt[6]{5}$:
Это число уже имеет показатель корня 6, поэтому его изменять не нужно.

Ответ: $\sqrt[6]{9}$, $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[6]{5}$.

б)

Даны три числа: $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$. Показатели корней у данных чисел — 2, 4 и 8.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для этих показателей:

НОК(2, 4, 8) = 8.

Приведем каждый корень к показателю 8.

1. Для числа $\sqrt{5}$:
Показатель корня равен 2. Чтобы получить показатель 8, нужно домножить его на 4 ($k=4$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 4.
$\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[8]{625}$.

2. Для числа $\sqrt[4]{15}$:
Чтобы получить показатель 8 из 4, нужно домножить его на 2 ($k=2$). При этом подкоренное выражение нужно возвести в степень 2.
$\sqrt[4]{15} = \sqrt[4 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[8]{225}$.

3. Для числа $\sqrt[8]{50}$:
Это число уже имеет показатель корня 8, поэтому оно остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[8]{625}$, $\sqrt[8]{225}$, $\sqrt[8]{50}$.