Номер 3.76, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.76, страница 114.

3.76 а) $\sqrt[4]{a^2}$;

б) $\sqrt[6]{a^3}$;

В) $\sqrt[4]{a^2b^2}$;

г) $\sqrt[6]{a^4b^2}$.

a) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{a^2}$, воспользуемся свойством корня, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. Это свойство можно представить в виде формулы с дробными показателями: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Запишем исходное выражение с помощью дробного показателя:
$\sqrt[4]{a^2} = (a^2)^{1/4}$
Применяя свойство степеней $(x^p)^q = x^{pq}$, получаем:
$(a^2)^{1/4} = a^{2/4} = a^{1/2}$
Однако, это преобразование верно только для $a \ge 0$. Чтобы учесть все возможные значения $a$ (включая отрицательные), необходимо использовать модуль, так как $a^2 = |a|^2$. Исходное выражение $\sqrt[4]{a^2}$ определено для любого действительного $a$, и его значение всегда неотрицательно.
$\sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{|a|^2}$
Поскольку $|a| \ge 0$, мы можем сократить показатель корня (4) и показатель степени (2) на их общий делитель 2:
$\sqrt[4]{|a|^2} = \sqrt[4/2]{|a|^{2/2}} = \sqrt[2]{|a|^1} = \sqrt{|a|}$
Ответ: $\sqrt{|a|}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^3}$.
Это выражение определено, только если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $a^3 \ge 0$, что равносильно $a \ge 0$.
Поскольку $a \ge 0$, мы можем упростить выражение, разделив показатель корня (6) и показатель степени подкоренного выражения (3) на их наибольший общий делитель, равный 3.
$\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6/3]{a^{3/3}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$
Также можно использовать представление в виде степени с дробным показателем:
$\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

в) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^2b^2}$.
Сначала преобразуем подкоренное выражение, используя свойство степеней: $x^n y^n = (xy)^n$.
$\sqrt[4]{a^2b^2} = \sqrt[4]{(ab)^2}$
Это выражение аналогично случаю а). Оно определено для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как $(ab)^2$ всегда неотрицательно. Чтобы упрощение было верным для всех значений, используем модуль.
$\sqrt[4]{(ab)^2} = \sqrt[4]{|ab|^2}$
Теперь сокращаем показатель корня (4) и показатель степени (2) на 2:
$\sqrt[4]{|ab|^2} = \sqrt[2]{|ab|} = \sqrt{|ab|}$
Ответ: $\sqrt{|ab|}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^4b^2}$.
Подкоренное выражение $a^4b^2 = (a^2b)^2$ всегда неотрицательно, поэтому выражение определено для любых действительных $a$ и $b$.
$\sqrt[6]{a^4b^2} = \sqrt[6]{(a^2b)^2}$
Показатель корня равен 6, а показатель степени подкоренного выражения равен 2. Их общий делитель равен 2. При сокращении, так как исходный показатель корня (6) — четное число, необходимо использовать модуль.
$\sqrt[6]{(a^2b)^2} = \sqrt[6/2]{|a^2b|^{2/2}} = \sqrt[3]{|a^2b|}$
Теперь упростим выражение под модулем: $|a^2b|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
$|a^2b| = |a^2| \cdot |b| = a^2|b|$
Подставляя это в наше выражение, получаем окончательный результат.
$\sqrt[3]{a^2|b|}$
Ответ: $\sqrt[3]{a^2|b|}$