Номер 3.78, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Свойства корней степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.78, страница 114.

3.78 Запишите $\sqrt{a} (a \geq 0)$ как корень:

а) четвёртой степени;

б) шестой степени;

в) десятой степени;

г) шестнадцатой степени;

д) двенадцатой степени;

е) восьмой степени;

ж) двадцать четвёртой степени;

з) тридцатой степени.

Для того чтобы представить выражение $\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$) в виде корня другой степени, мы используем основное свойство арифметического корня. Квадратный корень $\sqrt{a}$ является корнем второй степени из $a$ в первой степени, то есть $\sqrt[2]{a^1}$.

Основное свойство корня заключается в том, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число, значение корня не изменится. Математически это записывается как $\sqrt[n]{b^k} = \sqrt[n \cdot p]{b^{k \cdot p}}$ (где $b \ge 0$, $n, k, p$ — натуральные числа).

Чтобы привести корень $\sqrt[2]{a^1}$ к корню степени $m$, необходимо найти такое натуральное число $p$, что $2 \cdot p = m$. Отсюда $p = m/2$. Затем мы умножаем показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) на это число $p$. В результате получаем: $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot p]{a^{1 \cdot p}} = \sqrt[m]{a^p} = \sqrt[m]{a^{m/2}}$.

а) четвёртой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень четвёртой степени, то есть $m=4$. Находим дополнительный множитель $p = 4/2 = 2$. Умножаем показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) на 2:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$

б) шестой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень шестой степени, то есть $m=6$. Находим дополнительный множитель $p = 6/2 = 3$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 3:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$

в) десятой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень десятой степени, то есть $m=10$. Находим дополнительный множитель $p = 10/2 = 5$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 5:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 5]{a^{1 \cdot 5}} = \sqrt[10]{a^5}$

Ответ: $\sqrt[10]{a^5}$

г) шестнадцатой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень шестнадцатой степени, то есть $m=16$. Находим дополнительный множитель $p = 16/2 = 8$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 8:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 8]{a^{1 \cdot 8}} = \sqrt[16]{a^8}$

Ответ: $\sqrt[16]{a^8}$

д) двенадцатой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень двенадцатой степени, то есть $m=12$. Находим дополнительный множитель $p = 12/2 = 6$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 6:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 6]{a^{1 \cdot 6}} = \sqrt[12]{a^6}$

Ответ: $\sqrt[12]{a^6}$

е) восьмой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень восьмой степени, то есть $m=8$. Находим дополнительный множитель $p = 8/2 = 4$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 4:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 4]{a^{1 \cdot 4}} = \sqrt[8]{a^4}$

Ответ: $\sqrt[8]{a^4}$

ж) двадцать четвёртой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень двадцать четвёртой степени, то есть $m=24$. Находим дополнительный множитель $p = 24/2 = 12$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 12:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 12]{a^{1 \cdot 12}} = \sqrt[24]{a^{12}}$

Ответ: $\sqrt[24]{a^{12}}$

з) тридцатой степени

Требуется представить $\sqrt{a}$ как корень тридцатой степени, то есть $m=30$. Находим дополнительный множитель $p = 30/2 = 15$. Умножаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 15:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 15]{a^{1 \cdot 15}} = \sqrt[30]{a^{15}}$

Ответ: $\sqrt[30]{a^{15}}$